空間ベクトル

質問

空間上の3点をA（0，1，3） B（－1，3，2） C（1，2，－1）とする。この3点を通る平面上にD（a，b，1）があるとき、aとbの関係式を求めよ。
よろしくお願いします。

回答No.2

kiha181-tubasa

ごく基本的な（教科書的な）手法を回答します。
心構えは，「答を出そう」と思わないで，「今何ができるか」を考える事です。では……

点Ｄが平面ＡＢＣ上にあるとき，ベクトルＡＤ（テキスト画面の都合上単にＡＢと書きます）は２つのベクトルＡＢ，ＡＣの一次結合で表すことができます。つまりｍ，ｎを実数として
ＡＤ＝ｍＡＢ＋ｎＡＣ
と表すことができます。

Ｏを原点としましょう。
ＡＢ＝ＯＢ－ＯＡ＝（－１，３，２）ー（０，１，３）＝（－１，２，－１）
同様にして，ＡＣ＝（１，１，－４），ＡＤ＝（a，b－１，－２）
となります。

従って
ＡＤ＝ｍＡＢ＋ｎＡＣ
から
（a，b－１，－２）＝ｍ（－１，２，－１）＋ｎ（１，１，－４）
（a，b－１，－２）＝（－ｍ，２ｍ，－ｍ）＋（ｎ，ｎ，－４ｎ）
（a，b－１，－２）＝（－ｍ＋ｎ，２ｍ＋ｎ，－ｍ－４ｎ）

これから
a＝－ｍ＋ｎ……(1)
b－１＝２ｍ＋ｎ……(2)
－２＝－ｍ－４ｎ……(3)
を得ます。

（あとは，計算だけです。文字４個，式３本ですから，各文字の値が定数で求まることはありませんね。関係式が出てきます）

(1)(2)をｍ，ｎの連立方程式として解けば
ｍ＝－１/３（a＋b＋１），ｎ＝１/２（２a＋b－１）
となりますから，このｍ，ｎを(3)に代入すればa，bの関係式,７a＋５b＝１１が出てきます。

※（おまけ）空間ベクトルの問題でも，３点が与えられれば，そこで一平面が定まり，その平面のうえで考ている事になるのですね。

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

gamma1854

どの部分がわからないのでしょうか？
３点を通る平面 α が１つだけあり、その方程式を求めます。
α の方程式は、ax+by+cz+d=0. の形をしていて、これに３点の座標を代入して a~d を(１組)求めてください。簡単な連立方程式です。
または、２つのベクトル、vec(AB), vec(AC) について、ベクトル積、
vec(AB)×vec(AC) をもとめ、これがαの「法線ベクトル」になることを利用するもＯＫです。
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αの方程式にＤの座標を代入してa, bの関係が求まります。