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1/(t^4-1)=(1/2)*{1/(t^2-1) - 1/(t^2+1)}. でありまた、
1/(t^2-1)=(1/2)*{1/(t-1) - 1/(t+1)}. です。これを利用します。
(部分分数分解に難がある場合は論外です)
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f(x)=(1/4)*ln{(x-1)/(x+1)} - (1/2)*arctan(x).
2) ∫ln|(t-1)/(t+1)|dt...u=ln|...|, v'=1. として部分積分。
∫arctan(t)dt....u=arctan(t), v'=1. 同上。
F(x)=(x/4)*ln|(1-x)/(1+x)| - (x/2)*arctan(x)+(1/2)*ln|(1+x^2)/(1-x^2)|.
3) f'(x)=1/(x^4-1), f(0)=0 ですから、
f(x)=ーΣ[n=0~∞]x^(4n+1)/(4n+1), 収束半径r=1.
4) f(z)=(1/4)*ln|(1-z)/(1+z)| - (1/2)*arctan(z), z=x^2+y^2. ゆえ、
∂φ/∂x=(df/dz)*(∂z/∂x)={1/(z^4-1)}*2x,
∂φ/∂y=(df/dz)*(∂z/∂y)={1/(z^4-1)}*2y.
これより、(x, y)=(0, 0) が極値の候補で、この値に対し、
{∂^2φ/(∂x∂y)}^2 - (∂^2φ/∂x^2)*(∂^2φ/∂y^2)=-4 ですから、
原点は極大値です。
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※計算ミス、タイプミスがあるかもしれません。
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