次の高校数学の問題の解答解説をお願いします

質問

次の高校数学の問題の解答解説をお願いします

回答No.1

f272

(1)
f(x)=0の解がβ/αなのだから
a[0](β/α)^n+a[1](β/α)^(n-1)+a[2](β/α)^(n-2)+..+a[n-1](β/α)+a[n]=0
です。α^nを掛ければ
a[0]β^n+a[1]β^(n-1)*α+a[2]β^(n-2)*α^2+..+a[n-1]β*α^(n-1)+a[n]α^n=0
です。
a[0]β^n=-α(a[1]β^(n-1)+a[2]β^(n-2)*α+..+a[n-1]β*α^(n-2)+a[n]α^(n-1))
となりますからαはa[0]β^nの約数ですが，αとβは互いに素ですから，結局，αはa[0]の約数です。また
a[n]α^n=-β(a[0]β^(n-1)+a[1]β^(n-2)*α+a[2]β^(n-3)*α^2+..+a[n-1]α^(n-1))
となりますからβはa[n]α^nの約数ですが，αとβは互いに素ですから，結局，βはa[n]の約数です。
(2)
与えられた条件からx，y，zは方程式X^3-(p/3)X^2+(1/p)X-(1/p^3)=0の解になっています。書き換えると(3p^3)X^3-(p^4)X^2+(3p^2)X-3=0です。(1)で証明したことを使えば3p^3の約数は1，3，pで-3の約数は1，3ですから，x，y，zは1，3，1/3，1/p，3/pのどれかになります。ところがxyz=1/p^3でpは素数なのだから，p=3でしかありえません。そうすると方程式の解も1/3（3重解）だとわかります。