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数学・算数 カテゴリマスター
(1)
f(x)=0の解がβ/αなのだから
a[0](β/α)^n+a[1](β/α)^(n-1)+a[2](β/α)^(n-2)+..+a[n-1](β/α)+a[n]=0
です。α^nを掛ければ
a[0]β^n+a[1]β^(n-1)*α+a[2]β^(n-2)*α^2+..+a[n-1]β*α^(n-1)+a[n]α^n=0
です。
a[0]β^n=-α(a[1]β^(n-1)+a[2]β^(n-2)*α+..+a[n-1]β*α^(n-2)+a[n]α^(n-1))
となりますからαはa[0]β^nの約数ですが,αとβは互いに素ですから,結局,αはa[0]の約数です。また
a[n]α^n=-β(a[0]β^(n-1)+a[1]β^(n-2)*α+a[2]β^(n-3)*α^2+..+a[n-1]α^(n-1))
となりますからβはa[n]α^nの約数ですが,αとβは互いに素ですから,結局,βはa[n]の約数です。
(2)
与えられた条件からx,y,zは方程式X^3-(p/3)X^2+(1/p)X-(1/p^3)=0の解になっています。書き換えると(3p^3)X^3-(p^4)X^2+(3p^2)X-3=0です。(1)で証明したことを使えば3p^3の約数は1,3,pで-3の約数は1,3ですから,x,y,zは1,3,1/3,1/p,3/pのどれかになります。ところがxyz=1/p^3でpは素数なのだから,p=3でしかありえません。そうすると方程式の解も1/3(3重解)だとわかります。
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