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数学の問題について(高校生
数学の問題について(高校生 こんにちわ。高校二年生です 明日 試験なのですが、数学で 全くわからないところがあります それは、 1の3乗根のうち、虚数であるものの1つをωとするとき、次の式の値を求めよ。 という問題で、まず問題文から、全くわからない状態です。 解説では、ω3=1 ω2+ω+1=0 を利用すると 書いているのですが、 どのように考えれば、ω3=1、ω2+ω+1=0に辿りつくのかわかりません。 詳しく教えてください。 例として、 ω4+ω2+1 を教えてください ωの右隣にある、大きい数字は乗数のことです。見にくくてすいません。
- takotoika
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そもそも、ω は 1 の三乗根なのだから、方程式 x^3 = 1 の解です。 すなわち、ω^3 = 1。 方程式を x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) = 0 と変形すれば、 x = ω は、x^2 + x + 1 = 0 の解だと判ります。 x = 1 は、虚数解じゃないですからね。 x^3 - 1 の因数分解は、 x = 1 のとき x^3 - 1 = 0 となることに気づけば、 x^3 - 1 を x - 1 で割ってみることで導けます。 よって、ω^2 + ω + 1 = 0。 以上を使って、 ω^4 + ω^2 + 1 = (ω^3)ω + ω^2 + 1 = ω + ω^2 + 1 = 0。
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- tomokoich
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1の3乗根ということで ω^3=1より ω^3-1=0 になります ω^3-1=(ω-1)(ω^2+ω+1)=0なので ω=1,ω^2+ω+1=0になります ω^2+ω+1=0は ω=(-1±√3i)/2になり(虚数立方根) 1つをωとするともうひとつはω^2になります よって1の立方根は1,ω,ω^2になります ω^4+ω^2+1 =(ω^2)^2+2ω^2+1-ω^2 =(ω^2+1)^2-ω^2 =(ω^2+ω+1)(ω^2-ω+1) ここでω^2+ω+1=0より 上の式は0になります
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