数学 教えて下さい

質問

高２高次方程式です。
（１）多項式x^3+ ax^2+ bx-aをx^2+x +1で割ったときの余りが-x +3である時,定数 a b
の値を求めなさい
(2)4次方程式x^4+(a+2)x^3-(2a+2)x^2+(b+1)x+a^3=0の1つの解が1+iであるとき、実数a.bの値を求めなさい。また他の解を求めなさい
お願いします！

回答No.2

f272

(1)
x^3+ ax^2+ bx-a=(x^2+x +1)(1次式)-x+3
と書けることになる。
上式両辺のx^3の係数を比較して，(1次式)の1次の項はx
上式両辺のx^2の係数を比較して，(1次式)の定数項はa-1
であることが分かり，
上式両辺のxの係数を比較して，b=a-1+1-1...(A)
上式両辺の定数項を比較して，-a=a-1+3...(B)
したがって式(B)からa=-1，それを式(A)に代入してb=-2

(2)
1つの解が1+iであることから
x=1+iより
x-1=i
(x-1)^2=x^2-2x+1=-1
x^2-2x+2=0
となるので
x^4+(a+2)x^3-(2a+2)x^2+(b+1)x+a^3=(x^2-2x+2)(2次式)
と書けることになる。
上式両辺のx^4の係数を比較して，(2次式)の2次の項はx^2
上式両辺のx^3の係数を比較して，(2次式)の1次の項はa+4
上式両辺のx^2の係数を比較して，(2次式)の定数項は4
であることが分かる。したがって
上式両辺のxの係数を比較して，b+1=2(a+4)-8...(C)
上式両辺の定数項を比較して，a^3=8...(D)
であるから式(D)からa=2，それを式(C)に代入してb=3
これで2次式はx^2+6x+4と確定できた。
x^2+6x+4=0からx=-3±√5も元の4次方程式の解であるし，また1つの解が1+iであるのでその共役複素数であるx=1-iも元の4次方程式の解である。