(続)これってコーシーの積分公式の矛盾!?

質問

https://okwave.jp/qa/q9571473.html
の続きです。
文字数が多くなってしまいましたので下記のアップしましたのでご覧いただけましたら幸いでございます。
https://kyokoyoshikawa.web.fc2.com/newdir/question/q9571473.txt

回答No.16

jcpmutura · ベストアンサー

違います
fが抜けています

∫_Jdμ=0
でも
∫_Jfdμ≠0
となるfがあるという事です

お礼

私の結論は正しかったのですね。どうもありがとうございました。

回答No.5

jcpmutura

そのμ_0は測度でも集合関数でもありません
複素数a,bに対して
[a,b]={(1-t)a+tb|0≦t≦1}
はaとbを結ぶ線分上の点集合となります

μ[a,b]=b-a
と定義すると
[a,b]と[b,a]は集合として等しいから
[a,b]=[b,a]だから
b-a=μ[a,b]=μ[b,a]=a-b
b-a=a-b
2b=2a
b=a
全ての複素数が等しくなるので矛盾する

お礼

μ_0の定義域はCの部分集合族ではなく連続関数の集合としております。
ご紹介頂いた
{(1-t)a+tb|0≦t≦1}={(t-1)b+ta|0≦t≦1}
は関数の値域が等しいとおっしゃってるだけで関数としては異なってますよね？
ご理解頂けますでしょうか？

回答No.4

jcpmutura

いいえ誤解ではありません
B={x+iy|-1<x≦0,0<y≦1}=(-1,i]=(図の青部分)
A={x+iy|0<x≦1,0<y≦1}=(0,1+i]=(図の赤部分)
とすると
(-1,1+i]
={x+iy|x∈(Re(-1),Re(1+i)],y∈(Im(-1),Im(1+i)]}
={x+iy|-1<x≦1,0<y≦1}=(図の赤青合併部分)
=
B∪A={x+iy|-1<x≦1,0<y≦1}=(-1,1+i]
となります

補足

表現の仕方が悪かったです。申し訳ありません。

\mathfrak{A}:=∪_{a,b∈R,a<b}{J;J:(a,b]→Cはジョルダン曲線} としますと,

μ_0(J):=J(sup dom(J) - inf dom(J)) と定義したかったのでした。

例: J_1,J_2,J_3∈\mathfrak{J}を
J_1(inf dom(J_1)) = 0,
J_1(sup dom(J_1)) = J_2(inf dom(J_2)) = 1+2i,
J_2(sup dom(J_2)) = J_3(inf dom(J_3)) = -1/2+3i,
J_3(sup dom(J_3)) = -3+4i.
とすれば,
J:=(inf dom(J_1)),sup dom(J_1))] ∪(inf dom(J_2)),sup dom(J_2))] ∪ (inf dom(J_3)),sup dom(J_3))]
も区間となり,

μ_0(J_1)=1+2i,
μ_0(J_2)=-1/2+3i-(1+2i)=-3/2+i,
μ_0((J_3)=-3+4i-(-1/2+3i)=-5/2+i
で
μ_0(J_1)+μ_0(J_2)+μ_0(J_3)=1+2i-3/2+i-5/2+i=-3+4i.
一方
inf dom(J) = 0, sup dom(J) = -3+4i]'なので
μ_0(J)=-3+4i-0=-3+4i.
で上手く言ってる事がわかります。

これでいかがでしょうか?

回答No.3

jcpmutura

いいえ
B={x+iy|-1<x≦0,0<y≦1}=(-1,i]
A={x+iy|0<x≦1,0<y≦1}=(0,1+i]
とすると
B∪A={x+iy|-1<x≦1,0<y≦1}=(-1,1+i]
となります

補足

誤解なさってるのでは。。?

\mathfrak{A}:={('a,b]'∈2^C;a,b∈C} (但し('a,b]':={x+yi∈C;x∈(Re(a),Re(b)],y∈(Im(a),Im(b)]})とすると,
B∪A\not∈\mathfrak{A}

となってるので反例になってないと思うのですが。。。

回答No.2

jcpmutura

それはもはやルベーグ積分ではありません

複素ルベーグ積分は
ルベーグ測度として
実面積測度(複素数a,bの間の長方形の面積)
μ([a,b])=|Re(a)-Re(b)||Im(a)-Im(b)|
を定義した
面積分です

一方、複素積分は
曲線上の線積分(に近いもの)なので
次元が違うので
複素積分をルベーグ積分で表す事は無理です
例え表す事ができても
複素積分で簡単に表現できるものが
非常に複雑難解なものになってしまうため
通常、複素積分をルベーグ積分で定義しません

補足

ご回答誠に有難うございます。

> それはもはやルベーグ積分ではありません

そうですね。私が定義した測度はルベーグ積分ではありませんね。μ積分と呼ぶべきでした。

> 複素ルベーグ積分は
> ルベーグ測度として
:
> 通常、複素積分をルベーグ積分で定義しません

という事で,複素積分をμ積分で定義する事を試みるに言葉を変更いたします。

さて,測度をどう決めるか一番の問題点なのですね。

やはり当初のとおり,
A:={('a,b]'∈2^C;a,b∈C} (但し('a,b]':={x+yi∈C;x∈(Re(a),Re(b)],y∈(Im(a),Im(b)]})について,
μ_0 : A→C をA∋∀('a,b]'→μ_0 (('a,b]'):=b-aと定義すると,可算加法性を満たします。

例: a=0, b=1+2i, c=-1/2+3i, d=-3+4iとすると
μ_0(('a,b]')=1+2i,
μ_0(('b,c]')=-1/2+3i-(1+2i)=-3/2+i,
μ_0(('c,d]')=-3+4i-(-1/2+3i)=-5/2+i
で
μ_0(('a,b')+μ_0(('b,c')+μ_0(('c,d')=1+2i-3/2+i-5/2+i=-3+4i.
一方
('a,b]'∪('b,c]'∪('c,d]'=('0,-3+4i]'なので
μ_0(('a,d]')=-3+4i-0=-3+4i.
で上手く言ってる事がわかります。

よって,μ|_A=μ_0なる複素数値の測度が存在する(∵拡張定理)。

これなら,符号付測度にも準ずるもので`向き`を表せますね。

因みに,ご紹介いただいた反例

> μ(A)=μ([0,1+i])=1+i
> μ(B)=μ([-1,i])=1+i
> μ(A∪B)=μ([-1,1+i])=2+i≠2+2i=μ(A)+μ(B)
> だから
> 測度を
> μ([a,b])=|Re(a)-Re(b)|+i|Im(a)-Im(b)|
> と定義しても
> 加法性が成り立たたないので

についてですがA∪B=(0,1+i]∪(-1,i]=(-1,?]の形には表せませんので,A∪B \not∈ A で反例には成り得ません。

これで問題点は全てクリアーできたと思うのですがいかがでしょうか?

回答No.1

jcpmutura

A={x+iy|0≦x≦1,0≦y≦1}=[0,1+i]
B={x+iy|-1≦x≦0,0≦y≦1}=[-1,i]
とすると
A∪B={x+iy|-1≦x≦1,0≦y≦1}=[-1,1+i]

μ(A)=μ([0,1+i])=1+i
μ(B)=μ([-1,i])=1+i
μ(A∪B)=μ([-1,1+i])=2+i≠2+2i=μ(A)+μ(B)
だから
測度を
μ([a,b])=|Re(a)-Re(b)|+i|Im(a)-Im(b)|
と定義しても
加法性が成り立たたないので
複素測度の定義を満たさないので
複素測度の定義を満たすという指摘は
取り消します

補足

> 加法性が成り立たたないので
> 複素測度の定義を満たさないので
> 複素測度の定義を満たすという指摘は
> 取り消します

了解しました。それならばイッソの事,下記のように実ルベーグ測度のみで記述すればいいのではないでしょうか?
これなら安全ですよね?

こちらをご覧いただけましたら幸いでございます。

https://kyokoyoshikawa.web.fc2.com/newdir/question/_q9571473.txt