微分積分学の問題

質問

区間[0,∞)上の連続関数y=g(x)は
liminf[x→∞]g(x) = －∞ , limsup[x→－∞]g(x) = ∞
を満たすと仮定する。関数φ = φ(t) , ψ = ψ(t)は－∞ < t < ∞でC1級であり、ある正定数
δがあって
φ'(t) ≧ 0 , ψ'(t) ≧ 0 , (φ'(t))^2 + (ψ'(t))^2 ≧ δ (－∞ < t < ∞)
となるとする。このときy = g(x)のグラフとS = {(φ(t),ψ(t)) | －∞ < t < ∞}は交わることを示せ。

この問いが分かりません。教えてください。

回答No.2

tmpname · ベストアンサー

うーん、『区間[0,∞)上』が正しく、『liminf[x→∞]』が間違いだったとすれば、反例があるから、問題がそもそも正確でないと困るんだけどな...
まあ区間(－∞,∞)上として：

取り敢えず、問題の「雰囲気」は分かりますか？liminf[x→∞] g(x) = -∞, limsup [x→-∞] g(x) = +∞というのは、g(x)は「何となく右下がりの」関数。一方S = {(φ(t),ψ(t)) | - ∞ < t < ∞} は平面上右上がりのグラフで、その二つはどっかで交わるに違いない、という「雰囲気」です。

で、取り敢えず g(φ(0)) = ψ(0)なら、 y=g(x)とSは (φ(0), ψ(0))で交わるから、そうでないとする。先ずg(φ(0)) > ψ(0) とする。
liminf[x→∞] g(x) = -∞から、ある正数 R > φ(0)があって、inf{g(x) | x ≧ R} < ψ(0)。従ってある正数R'>R> φ(0)があって、g(R') < ψ(0)となる。R'' = R' -φ(0) > 0とおく。
一方、φ'(t) ≧ 0 , ψ'(t) ≧ 0 より、φ, ψは共に単調増加。δ = 8m^2, m>0で正の数mを導入する（i.e. m = (δ/8)^(1/2) ) と、 φ'(t))^2 + (ψ'(t))^2 ≧ 8m^2である故、max { φ'(t), ψ'(t)} ≧ 2m、よって φ'(t) + ψ'(t)≧ 2m。従って、両辺積分すると、正の数 d に対し、 φ(d) - φ(0) + ψ(d) - ψ(0) ≧ 2md。 φ(d) - φ(0) ≧0, ψ(d) - ψ(0) ≧0から、max{ φ(d) - φ(0) , ψ(d) - ψ(0)}≧ md。

そこで、先ずφ(d) - φ(0) > R''となるd>0がある時は、φは連続だから、中間値の定理よりφ(D) - φ(0) = R''（つまりφ(D) = R'） となるDがある。p(t) = g(φ(t)) - ψ(t)とおくと、p(0) = g(φ(0)) - ψ(0) > 0。一方p(D) = g(φ(D)) - ψ(D) = g(R') - ψ(D) < ψ(0) - ψ(D) < 0。pは連続だから中間値の定理により、p(a) = g(φ(a)) - ψ(a) = 0となるa>0がある。この時 y=g(x)とS は(φ(a), ψ(a) )で交わる。

一方、φ(d) - φ(0) > R''となるd>0がない、即ちd>0なら常にφ(d) - φ(0) ≦R''(i.e. φ(0) ≦φ(d)≦ R') の時、gは連続だから最大値の定理から L=max { g(x) | φ(0)≦ x ≦ R'} がある。E = max{R'' + 1, (L+1-ψ(0)) } / mとおけば max{φ(E) - φ(0), ψ(E) - ψ(0)} ≧ mE = max{R''+1 , (L+1-ψ(0)) } となるがφ(E) - φ(0)≦R''である故、ψ(E) - ψ(0) = max{R''+1 , (L+1-ψ(0)) }≧ L+1-ψ(0)となり、ψ(E) ≧ L+1 である。
故に、再びp(t) = g(φ(t)) - ψ(t)とおくと p(0) = g(φ(0)) - ψ(0) > 0。一方p(E) = g(φ(E)) - ψ(E)≦ L - (L-1) < 0となる故、この時もp(b) = g(φ(b)) - ψ(b) = 0となるb>0があり、y=g(x)とS は(φ(b), ψ(b) )で交わる。

一方、g(φ(0)) < ψ(0)の場合は、 g(x)の代わりにg_(x) = -g(-x)、φの代わりにφ_(t) = -φ(t)、ψの代わりにψ_(t) = -ψ(-t)を考えれば、g_, φ_, ψ_は題意を満たし、且つ g_(φ_(0)) > ψ_(0)を満たすから、今の議論から、y=g_(x)とS' = {(φ_(t),ψ_(t)) | －∞ < t < ∞}はある点 (u,v)で交わる。この時、y=g(x)とSは(-u,-v)で交わる。