3分後に電話が話中である確率

質問

Aさんと電話していました。一旦切ってもう一度電話をかけてみたら話中でした。何度も掛けてみて、５分間電話が話中だった場合（ケース１）と、1時間電話が話し中だった場合（ケース２）、それぞれの確認時点からそれぞれ3分後に話し中が続いている確率は同じですか？

経験的にはケース２の確率のほうが高いと感じるのですが、数学的にはどうなのでしょう。

回答No.2

Mathmi · ベストアンサー

要するに「0分後から5分後まで話し中だった場合、8分後に話し中である確率」と「0分後から60分後まで話し中だった場合の、63分後に話し中である確率」を比較したいのですよね？
これは、数学というか統計の問題なので、実際のデータがなければ答えが出せません。
少なくとも数十回分は「0分後から60分後まで話し中だった場合の、63分後の状態」のデータがなければ、傾向をつかむこともできないと思います。

或いは「n分間電話する確率」や「ある時点で電話をしていて、n分後に電話を切っている確率」等を仮定するなら、計算でも求められますが。

仮に「電話中だった1分後に電話を切っている確率」を0.01としてみましょう。

5分後まで電話中である確率は、(1-0.01)^5=約95.1%……<1>
6分目に電話を切る確率は、<1>*0.01=約0.951%……<2>
7分目に電話を切る確率は、<1>*(1-0.01)*0.01=約0.942%……<3>
8分目に電話を切る確率は、<1>*(1-0.01)^2*0.01=約0.932%……<4>
以上より、5分後まで電話中であり、8分後に電話中でない可能性は(<2>+<3>+<4>)/<1>=<1>*0.01*(1+(1-0.01)+(1-0.01)^2)/<1>=約2.97%になります。

式を見れば分かるように、この確率には何分後に電話中であるかは関係しません。
確かに「6分後から8分後の間に電話を切る確率」と「61分後から63分後の間に電話を切る確率」を比較したら、後者の方が小さいです。
が、「5分後まで電話を続けている確率」と「60分後まで電話を続けている確率」だと、後者の方が同じように小さいので、それらが相殺されて同じ確率になるのです。

まぁ、確率ではなく現実的に考えたら、5分間話している人が後3分間話すよりは、1時間話している人があと3分話す方が多そうではありますが。

実際に確率を比較するなら、統計から「n分間電話する確率」を出した上で、「6分間電話する確率+7分間電話する確率+8分間電話する確率」と「61分間電話する確率+62分間電話する確率+63分間電話する確率」を比較、みたいな話になると思います。

お礼

ありがとうございます。

３時間話していた人が1分後に電話を切る確率よりも、３分間話していた人が1分後に電話を切る確率が高いと感じるのは基本的に「長電話をする人は少ない」というデータを感覚的に持っているからなのでしょうね。

ところが、３時間話している人だと何らかの理由で「長電話をする人」となってしまい、誤差範囲が分単位から時間単位に拡大してしまいます。（話疲れるとか、眠くなるという条件は置いといて）

＞まぁ、確率ではなく現実的に考えたら、5分間話している人が後3分間話
＞すよりは、1時間話している人があと3分話す方が多そうではありますが。

話す時間が長くなるにつれて、予想に対する誤差がどんどん拡大していくため、あるていど数学的な要素が含まれるのではないかと思います。

回答No.1

zazaq

電話をしているかしていないかの二択しかありませんので、50％です。
時間は関係ありません。

お礼

ご回答ありがとうございます。
経験ですが、３分ごと２０回くらい掛けましたが話中でした。もし５０%の確率だとしたらコインを投げて２０回連続で表が出るくらいすごいことになってしいませんか？

補足

１時間話中だったので、あと１０分以上は話中が続くだろうと予想し的中できた私は超能力者でしょうか。