確率は２分の１ですか？？？

質問

皆が敬遠したがる仕事をクジで決めることにしました。
選ばれる人数は３人中２人です。

まず私が２本のクジ（あたりとハズレ）を用意して１本をＡさんに取らせました。
Ａさんがハズレを引いたので、Ａさんがまず選ばれました。
この時点で私は２分の１で当たった気がします。

しかし、２人目を決める為に私はもう一人のＢさんにクジを引かせました。
Ｂさんはあたりを引き当てて結局嫌な仕事は私とＡさんという事になりました。
Ｂさんにクジを引かせる時に、なんかおかしいと思ったのですが、Ｂさんは確率は２分の１で変わらないと言っていたので、まあいいかと思いクジを引き合いました。

でもよーく考えると私はクジを２回引いている事になるので納得がいかないのですが、本当の確率は２分の１なのでしょうか。
数学が不得意で頭も弱くて申し訳ないのですが、教えてください。

回答No.3

Ichitsubo · ベストアンサー

それぞれのくじの確率は次の(1)、(2)の通りです。

(1)Aさんと質問者さんがくじを引いた
→質問者さんの当たりの確率は1/2です。

(2)Bさんと質問者さんがくじを引いた
→質問者さんの当たりの確率は1/2です。

さあ、みんながヒトしい確率でハズレを引くかどうかを考えましょう。
Aさんと質問者さんは(1)と(2)のどちらともはずれないようにするには、2回連続当たりを引かないといけません。2回連続当たりを引く確率はまず1/2であたってさらに1/2で当たると言うこと。よって二回連続のアタリの確率は
　1/2 * 1/2 ＝ 1/4
逆にどちらか一方ではずれる確率は3/4です。
Bさんは1回しかくじを引かないので、当たりはずれの確率とも1/2です。

お礼

わたしがそうじゃないのかと思った通りのご回答でした。
もしかしたら私４分の１なのかもとはちょっと思いました。
ただ、裏付けみたいなものがなかったので・・・

Ichitsuboさまのご意見を見て自身が付きました。
事後論になってしまいますが、明日会社で話してみようと思います。

ありがとうございました！

回答No.13

Ichitsubo

#3です。

AとBどちらも当たることはありませんよ。
「Aと"私"」でAが当たったら、次は「AとB」でくじ引きです。なので、AとBのどちらも当たることはありません。
Bが当たる確率は、Aと"私"の勝敗に関係なく、2本のくじから1本の当たりくじを引く確率すなわち1/2です。

今頃気付きましたが、これって3人でやるトーナメント戦ですよね。

回答No.12

y_akkie

#10です。誠に申し訳御座いません、お気づきだと思いますが、
質問内容とは全く異なる意味不明な事を書いてしまいました（＞＜）
少し転寝して起きた時に回答してしまったので、寝ぼけて質問を
読み間違えたのかもしれません…。
本当にご迷惑をおかけして申し訳御座いません。ちなみに
#10の内容は完全に破棄してください。

回答No.11

jfk26

このくじ引きは公平ですよ。
質問者の方がＡ、Ｂよりも自分が損したと考えるのは大いなる錯覚です。
皆さんが間違えている大きな原因は、あたりを引いたことと仕事をしないことがイコールだと考えたことです。
Ａ，Ｂともにあたりを引いたなら２人を選ぶということですから、いわば勝負なしになってしまうはずです、つまり当たったにもかかわらず仕事をしなくてもいいとはならない可能性があるということです、これを皆さん見落としています。
つまり
Ａが仕事をしなくて言い確率は

Ａが当たってＢが外れたとき

（１／２）＊（１／２）＝１／４

Ｂが仕事をしなくて言い確率は

Ａが外れてＢが当たったとき

（１／２）＊（１／２）＝１／４

質問者の方が仕事をしなくて言い確率は

Ａが外れてＢが外れたとき

（１／２）＊（１／２）＝１／４

ということで３人がいずれも１／４で同じ確率で公平です。
ちなみに３人とも１／４だとすると合計で３／４となりますが残りの１／４はＡ、Ｂが共にあたりを引いて勝負なしになる確率です。
ですから正確に言うと全体の確率の中で１／４が勝負なし、後はそれぞれの３人が仕事をしなくていい確率が１／４ということで、結論としては３人とも公平ということです。

回答No.10

y_akkie

まず、あなたが掃除当番に当たってしまう確率は、Ａさんがハズレくじ
を引く前と後とでは全く異なってきます。

また、Ｂさんがあなたに「確率は1/2である事には変わらない」というのは、Ａさんがハズレくじを引いた後の条件付確率に過ぎません。

あなたはＡさんがクジを引く前は何ら不公平な立場に置かれていたわけではなく、Ａさん、Ｂさん、あなたとも、掃除当番に当たる確率は同じであるという事です。つまり、最初からこのようなルールで決めるという
前提であれば不公平は生じず、何ら問題はないと思われます。

以下に、Ａさんがクジを引く前と後とでは、確率値がどのように
変化しているのかについて纏めましたので、ぜひ参考にして下さい。

Ａさんがクジを引く前　

あなたが掃除当番に当たる確率　　　 2/3　　
あなたが掃除当番に当たらない確率　 1/3
Ａさんが掃除当番に当たる確率　　　 2/3　　
Ａさんが掃除当番に当たらない確率　 1/3
Ｂさんが掃除当番に当たる確率　　　 2/3　　
Ｂさんが掃除当番に当たらない確率　 1/3

Ａさんがハズレクジを引いた時点

あなたが掃除当番に当たる確率　　　 1/2　　
あなたが掃除当番に当たらない確率　 1/2
Ａさんが掃除当番に当たる確率　　　 1　　
Ａさんが掃除当番に当たらない確率　 0
Ｂさんが掃除当番に当たる確率　　　 1/2　　
Ｂさんが掃除当番に当たらない確率　 1/2

お礼

確率表ありがとうございました。
ものすごくよくわかります。

結局、今回の一連の件で一番損（損という言い方もおかしいですが笑）をしたのはやっぱり私なのですね。
皆様の意見をプリントアウトして見せたいくらいです。

貴重なご意見を頂きありがとうございました！

回答No.9

lick6

補足説明から察するに
一回目AとCどちらが勝ってもBさんともう一回引くことになる
ですから実質Bさんのシード扱いみたいな感じかな。
つまり、AさんとCさんは二連勝しなければならず、Bさんは一勝でよい。
ということになりますのでBさんが得しているということです。
まあ、Bさんが突然いってきたのもあれですしみんなで話し合って
2/3　のくじで仕切りなおすというのもいかがでしょうか？

お礼

まさにそのとおりです！
Ｂさんは私とＡとの勝負のあとで、勝者である私とさらに勝負したのでシードみたいな感じですね。

＞AさんとCさんは二連勝しなければならず、Bさんは一勝でよい。
結果的にそのとおりです。
もし私じゃなくてＡが勝っていても後からＢと勝負するハメになっていたでしょう。

＞2/3　のくじで仕切りなおすというのもいかがでしょうか？
私もそうしたいのですが（笑）もう決まってしまいました。

ご意見ありがとうございました！

回答No.8

Mr_Holland

このクジの引き方はうまいトリックのように思います。まさにＢさんの思う壺！
　今回は1回目で質問者さんが当たりになりましたが、もしＡさんが当たりだった場合は、Ａさんにクジを持たせＢさんがクジを引かせていたことでしょう。その場合に確率は、次のようになります。
　　（質問者さんが当たる確率)＝1/2×1/2＝1/4　・・・2回とも当たり
　　（Ａさんが当たる確率）　　＝1/2×1/2＝1/4　・・・2回とも当たり
　　（Ｂさんが当たる確率）　　＝１×1/2＝1/2　・・・2回目だけ当たり

　結局、Ｂさんだけが1回だけ当たりを引けばいいのでＢさんが得してますよね。

＞「Ｂさんは確率は２分の１で変わらないと言っていた」
　ありえない話です。
　もし3人とも確率が1/2だったら、全体で3/2で１を超えてしまいます。

お礼

Mr_Hollandさまのおっしゃる通り、今回はＢさんにハメられた感じですね。
私もあの時おかしいとは思いましたが、なぜおかしいのかが分からずそのままやり過ごしていました。
今となってはＢさんの「確率は２分の１で変わらない」の言葉が一杯喰わされたと思うだけです。。。

ありがとうございました！

回答No.7

amanita

くじを引く前に、どういう取り決めにしたのでしょうか？
最初にＡさんがあたりを引いてしまったら、
自動的に残りの２人がはずれになるルールだったのでしょうか？

だったら、Ａさんが当たる確率は１/２、Ｂさんは１/４、質問者様も１/４となります。

不公平ですね。

いや、そうではなく、Ａさんと質問者様の１回目が予選、
勝ち抜いた人とＢさんで決勝戦、というルールでしたら、No.３さんのとおりです。
すなわち、Ａさんが当たる確率は１/４、Ｂさんは１/２、質問者様も１/４となります。

これも不公平ですね。

お礼

＞最初にＡさんがあたりを引いてしまったら、自動的に残りの２人がはずれになるルール
こういうルールではなかったです。

不公平だったなと家にかえってから思いました…
おおごとではないですがちょっと悔しかった＆なんかモヤモヤしていたという理由から投稿してしまいました。
ありがとうございます。

回答No.6

TaRSu

一回目のくじで「当たり」を取れても、二回目も「当たり」をとらないとお仕事行きなんですよね。（確認）

とすると、２回くじを引くあなたが生き残れる確率は四分の一です。
Ａさんも同様です。
ところがＢさんは１回しかくじを引かないので、二分の一の確率で生き残れます。

つまり、「Ａさんとあなたがくじを引く前の時点から考えると、このくじ引きはＢさんに圧倒的に有利だった」ってことです。

「Ａさんのお仕事行きが確定した状態」よりあとなら確かに二人とも二分の一で正しいんです。
が、そもそもこの方法がまずかったですね。
くじ引きは、人数分そろえないとおかしなことになりますよ。

お礼

皆様のご意見＆TaRSuさまのご回答をみると、私の確率は4分の1だったような気がします。

あとから加わったＢさんが一番得をしたのかもしれないですね。
帰りの電車の中でずーっと考えてました。
不公平だったってあとから思うと、結構くやしいものですね（笑）

ありがとうございました。

回答No.5

killer_7

当たり：仕事をしない
はずれ：仕事をする
ですね．また，状況は，
「Aさんに，「あたり1本，はずれ1本」のくじを引かせたら，はずれを引いた．
そこでBさんに「あたり1本，はずれ1本」のくじを引かせたら，あたりを引いた．」
でよいのですか．
そうであるとして話を進めます．
もし，公平にくじ引きをしたかったのなら，
皆が1/3（3分の1）の確率で当たるようにしなければいけませんね．
そうしたかったのならば，
> ２本のクジ（あたりとハズレ）を用意して１本をＡさんに取らせました。
これが失敗でした．結論から言うと，Aさんが得をし，Bさんとabesiさんが損をしています．

それぞれの人が当たる確率を調べてみましょう．ただし，
「もしAさんが当たりを引けば，そこで終了（Aさんが当たり，残りの2人ははずれ）．
Aさんがはずれを引けば，Bさんが当たりと外れの1本ずつのくじを引いて，当たればBさんがあたり，外れればabesiさんが当たり」
というルールだったとします．

Aさんが当たりを引く確率は1/2です．
Bさんが当たりを引く確率は，
Aさんが外れ，Bさんが当たる確率なので，
(1/2)×(1/2)=1/4
となります．
また，abesiさんが当たる確率は，
1-（Aさんの当たる確率）-（Bさんの当たる確率）=1-1/2-1/4=1/4
もしくは，
Aさんがはずれ，Bさんも外れる確率で，(1/2)×(1/2)=1/4
です．

本来，1/3であるべき，当たりを引く確率が
Aさん：1/2
Bさん：1/4
abesiさん：1/4
となっています．

たしかに，「Aさんがはずれを引いた」あとには，Bさんが当たる確率もabesiさんが当たる確率も1/2ずつになりますが，「Aさんが当たる」という場合もあったはずですから，Aさんがくじを引く前の，一番はじめの状態からの確率を考えるべきです．
そもそも，上で言ったように，当たる確率は1/3ずつであるべきで，
1/2ではいけないのです．

余談ですが，こういう場合，
はずれを2本，あたりを1本の合計3本のくじを作って引いてもらえば，
引く順番に関係なく，当たる確率は同じになりますよ．

補足

皆様、長文ありがとうございます。

ごめんなさい。
私の説明不足でした。

実は具体的な状況はこんなかんじだったのです。
(1)この仕事は２人でやらなければいけない。
(2)私とＡさんとの間でＢさんはこの仕事をやるのだと思っていた。（この時点でＢさんは確定していた）
(3)そこで(1)の条件のもう一人を決めるために私とＡさんとでクジを引き合った。
(4)Ａさんがハズレを引いたので私は喜んだ。
(5)しかし、Ｂさん本人もこの仕事をやりたくなかったのでしょう、突然クジを引きたいと言い出した。
(6)私は、Ａさんとの勝負で一回勝ったので３本中２本あたりというクジ方式を取りたくなかった（Ｂさんが確率は２分の１だよという横やりの言葉もあった）
(7)まあいいと思ってＢさんとクジ引き勝負をしました。
(8)結果私が負けました。

ここで、一番疑問に思ったのが今回の一連のクジ引き合戦で全体的私の
確率は本当に２分の１だったのかということなのです。

説明が下手くそでわかりずらいかもしれませんね。
すみません（汗）

回答No.4

lick6

Aさんは間違いなく特してますね。
確かくじの法則っていったかな。
くじは引く順番に関係なく同確率になったはずです。
樹形図を書いて確率を調べると等しくなるのが確認できます。
ですが今回は一人一人○か×か調べているので
　1/2
　○　B,C×
　／　　1/2
A　　　○　C×
　＼　　／
　×　B
　1/2　　＼
　　　　　×　C○
　　　　　1/2
ちょっとみにくいですが
それぞれ○の確立は
A 1/2
B 1/4
C 1/4
となりますね。
この場合Aさんが得しているのですが・・・結果的にはそうでもなかったみたいですね。

お礼

表まで作っていただきありがとうございました。
Ａさんは悪い結果になってしまったので、余計に残念ですね。