確率の問題

質問

「１０本のくじの中に３本の当たりくじと１本のチャンスくじとがある。チャンスくじを引いたときは引き続きもう１本引くものとする。Ａ、Ｂの順にくじを一回ずつ引くとき（引いたくじはもとに戻さない）、Ａ、Ｂのどちらが当たりくじを引く確率が大きいか」

という問題で、解答は

「○…当たりくじ、△…チャンスくじ、＊…チャンスくじ以外のくじ（当たりorはずれ）と決める。

１本目と２本目のくじの順列は、
○△、○＊、△○　の３タイプで、
３×１＋３×８＋１×３（通り）
よって、Ａが○を引く確率は
（３×１０）/（１０×９）＝３/９…(1)

また、Ｂが○を引くような３本目までの順列は、
＊○－、△＊○、＊△○（－は全く自由）
の３タイプで、各タイプ「○、△、＊、－」の順に数えると、３タイプの合計は、
３×８×８＋３×１×８＋３×１×８
＝３×８×１０（通り）
よって、Ｂが○を引く確率
（３×８×１０）/（１０×９×８）は(1)に等しいので、当たりくじを引く確率はＡ、Ｂ同じである。
」
となっています。おそらく、これは正しいのでしょうが、わからないことがあるので質問させてください。

質問１　解答の４行目で「○△、○＊、△○　の３タイプ」とありますが、一回目に当たったら、その後は考える必要はないのではないのでしょうか？だから、この考え方ではいけないと思います。　

質問２　「＊○－」の部分は、＊であたりがでたら、最後の「－」はいらなくなるから、この考え方はだめではないでしょうか？　また、＊は、はずれがでる必要があるから、３×８×８は３×６×８になるのでは？

回答No.1

freedom560 · ベストアンサー

これは確かに理解するのになかなか悩む考え方ですね。

＞質問１　解答の４行目で「○△、○＊、△○　の３タイプ」とありますが、一回目に当たったら、その後は考える必要はないのではないのでしょうか？だから、この考え方ではいけないと思います。
もし、あなたの考え方が次のような考え方ならば確かに「一回目に当たったら、その後は考える必要はない」という考え方が成り立ちます。

つまり、Ａが当たる場合は○を１回目に出すか、△を出した後○を出すので

３／１０＋１／１０×３／９・・(1)

と考えたときには○の後のことを考える必要はありません。

しかし、解答をよく見てみましょう。
（３×１０）/（１０×９）＝３/９
全体の分母が１０×９になっていますね？

つまり、初めの３／１０の部分の後に９／９をかけたものと同値になります。要するに、分母をあわせるために分子にも９をかけたんです。

これが何を意味しているかというと、
３／１０＋１／１０×３／９
のように１回目に○が出た後考えなくていい考え方もあるけど、とりあえずＡに２回引かせて（１０×９を考えたおいて）そのうち○－と△○のパターンがＡの当たりだと考えたという意味になります。
※下に－は全く自由という記号を出しているのにわざわざ○△、○＊に分けている理由はよくわかりません

＞質問２　「＊○－」の部分は、＊であたりがでたら、最後の「－」はいらなくなるから、この考え方はだめではないでしょうか？　また、＊は、はずれがでる必要があるから、３×８×８は３×６×８になるのでは？
もほぼ同様です。
最後の「－」がいらなくなるするように考えたときには分母は（１０×９×８）じゃなくて、（１０×９）になるんです。

これを(1)と同様の考え方で解こうとすると、
１　Ａが１回で当たる
２　Ａがチャンスを引いた後当たる
３　Ａがチャンスを引いた後外れる
４　Ａが１回で外れる
の場合わけをした後、それぞれＢが当たるパターンを考えなければいけないので案外面倒です。

お礼

解答では、Ａが、とにかく二回、または三回くじを引ききった場合を考えていたんですね。freedom560さんのおかげで理解できました。説明してくださってどうもありがとうございました。

回答No.3

matherlake

no2です
もうひとつの考え方を思いつきました

ＡＢともに当たるのは、以下の３通りです
（１）○○　　3/10*2/9
（２）○△○　3/10*1/9*2/8
（３）△○○　1/10*3/9*2/8
Ａが当たってＢが外れるのは
（１）○×　　3/10*6/9
（２）○△×　3/10*1/9*6/8
（３）△○×　1/10*3/9*6/8
Ａが外れてＢが当たるのは
（１）×○　　6/10*3/9
（２）×△○　6/10*1/9*3/8
（３）△×○　1/10*3/9*6/8

回答No.2

matherlake

質問１，２とも、あなたが疑問を感じるのは当然です。まだ質問１は、なんでこんなことするの？って感じで、間違いとはいえないと思いますが、おっしゃるとおり場合わけする必要はないでしょう

質問２は指摘とおり間違っていると思います。問題なのは、Ｂの当たる確率を考えるときに、Ａが当たって、Ｂも当たる場合がまったく考慮されていません。

この回答例に従って、説明しようと思いましたが、複雑怪奇なのでやめます

そのかわり私はこう考えます。チャンスくじは、再度引きなおすので、あってもなくても同じ。したがって最初からないものをみなす（くじは９本と考えます）

したがってＡの当たる確率は、３/９
Ｂの当たる確率は、Ａが当たる場合とはずれる場合とを考えて
３／９*（２／８）＋６／９*（３／８）＝１／３

お礼

理解できました。説明してくださってどうもありがとうございました。