位置ベクトル ベクトルと図形

質問

この問題が分かりません。どなたか説明してください。お願いします、、！

(解答は長くて、写真に入れると文字が見えなくなるので貼れませんでした)
答えは2／5≦t≦1です。

回答No.1

kiha181-tubasa

この回答中では、ベクトルABを単にABで、ベクトルａを単にａで表します。他のベクトルについても同様とします。これでも混同は起きないと思いますので。

＜作戦第１段階＞
まず、ABとORを、ａとbとで表しましょう。これがないと次に進めません。

AB=b-aは明らか。
点Rは線分BP上の点であるから、sを実数として
OR=(1-s)OP+sOB=(1-s)ta+sb
点Rは線分AR上の点であるから、rを実数として
OR=(1-r)OA+rOQ=(1-r)a+r(1/2)b

a,bは一次独立はベクトルなので上の２つの式から次の連立方程式を得る。
1-r=(1-s)t　かつ　s=(1/2)r
これからrを消去して　(t-2)s=t-1　となり、t=2のときは0*s=1となり不合理ゆえt≠2である。
∴s=(t-1)/(t-2)
これから
OR=(1-(t-1)/(t-2))ta+((t-1)/(t-2))b=(-t/(t-2))a+((t-1)/(t-2))b
を得る。

また明らかに
AB=b-a

以上で作戦第１段階終了

＜作戦第２段階＞
「垂直」が出てきますので「内積」が関係しそうですね。ABとORの内積を計算してみましょう。
まず、|a|=3,|b|=2,ab=3*2*cosθ=6cosθですね。
次にこのことを使って計算(展開)すると
AB・OR=(b-a)・((-t/(t-2))a+((t-1)/(t-2))b)
=中略
=(1/(t-2))((-12t+6)cosθ+13t-4)
となります。

＜作戦第3段階＞
次にAB・OR=0となるのはどんな場合であるかを調べます。

(-12t+6)cosθ+13t-4=0
とおいてみます。
t=1/2のときは0*cosθ=5/2となり不合理ゆえ、t≠1/2だから(-12t+6)≠0
∴cosθ=(13t-4)/(12t-6)
となりますね。
これをみたすようなθが存在しない(AB・OR=0とならない)ための条件は
|(13t-4)/(12t-6)|>1

この不等式を解きましょう。絶対値記号なので気楽に平方できまして
(13t-4)^2>(12t-6)^2
(13t-4)^2-(12t-6)^2>0
((13t-4)+(12t-6))((13t-4)-(12t-6))>0
(25t-10)(t+2)>0
(5t-2)(t+2)>0　0<t<1だからt+2>0
5t-2>0 ∴t>2/5
0<t<1だから
2/5<t<1

解答終了