圏論の射と対象との関係がよくわかりません

質問

圏論の射と始域・終域の概念がよくわかりません。

射に対して対象dom(f)とcod(f)が与えられ、
f: A→B
と書くとき、A=dom(f), B=cod(f)であることを指す
とあるのですが、射というのは、対象の組ごとに決められるのでしょうか？

例えば、対象を0～5の整数{0,1,2,3}として、4で割った余りと3で割った余りを考えたときに、

射は4で割った余りをとる射f4と3で割った余りをとる射f3の2個で、両方ともdomは、{0,1,2,3}、codは、前者（f4）が{0,1,2,3}、後者（f3)は{0,1,2}なのでしょうか？

それとも、
{0} →{0}について、4で割った余りと3で割った余りの射
{1}→{1}についても、4で割った余りと3で割った余りの射
{2}→{2}についても、4で割った余りと3で割った余りの射
{3}→{3}について、4で割った余りの射
{3}→{0}について、3で割った余りという射
の8つの射があるのでしょうか？

（多分、圏論では対象が集合でなくてもよいというところもそもそもきちんと理解できていないと思うのですが）
射　f:A→B
のAやBが何を指しているのか、fが何を指すのかがよくわかっていません。

回答No.2

jcpmutura

f:X→Y
と書くと
Xはfの始対象
Yはfの終対象
fの対象はX,Y
となります

始対象をZ=(全整数)
4で割った余りをとる射をg4
3で割った余りをとる射をg3
g4:Z→{0,1,2,3}
g3:Z→{0,1,2}
とすると
g4の始対象はZ,終対象は{0,1,2,3}
g4の対象はZ,{0,1,2,3}
g3の始対象はZ,終対象は{0,1,2}
g3の対象はZ,{0,1,2}
g4={(4n,0),(4n+1,1),(4n+2,2),(4n+3,3)|n∈Z}
g3={(3n,0),(3n+1,1),(3n+2,2)|n∈Z}
となります

g4を始対象を{0,1,2,3}に限定したもの
f4=g4|{0,1,2,3}
をg4の部分(制限)射といい
g3を始対象を{0,1,2,3}に限定したもの
f3=g3|{0,1,2,3}
をg3の部分(制限)射といい
f4:{0,1,2,3}→{0,1,2,3}
f3:{0,1,2,3}→{0,1,2}
f4の始対象,終対象,対象は{0,1,2,3}
f3の始対象は{0,1,2,3},終対象は{0,1,2}
f3の対象は{0,1,2,3},{0,1,2}
f4={(0,0),(1,1),(2,2),(3,3)}
f3={(0,0),(1,1),(2,2),(3,0)}
となります

g3,g4,f3,f4を始対象を{0}に限定したg3,g4,f3,f4の部分射
(g3|{0})=(g4|{0})=(f3|{0})
=(f4|{0}):{0}→{0}
の始対象,終対象,対象は{0}
(f4|{0})={(0,0)}

g3,g4,f3,f4を始対象を{1}に限定したg3,g4,f3,f4の部分射
(g3|{1})=(g4|{1})=(f3|{1})
=(f4|{1}):{1}→{1}
の始対象,終対象,対象は{1}
(f4|{1})={(1,1)}

g3,g4,f3,f4を始対象を{2}に限定したg3,g4,f3,f4の部分射
(g3|{2})=(g4|{2})=(f3|{2})
=(f4|{2}):{2}→{2}
の始対象,終対象,対象は{2}
(f4|{2})={(2,2)}

g4,f4を始対象を{3}に限定したg4,f4の部分射
(g4|{3})
=(f4|{3}):{3}→{3}
の始対象,終対象,対象は{3}
(f4|{3})={(3,3)}

g3,f3を始対象を{3}に限定したg3,f3の部分射
(g3|{3})
=(f3|{3}):{3}→{0}
の始対象{3},終対象{0},対象は{3},{0}
(f3|{3})={(3,0)}

お礼

ありがとうございました。少しイメージがつかめてきました。

回答No.1

jcpmutura

圏論の射とは集合論の写像を一般化したものです
写像→射
定義域→対象(始域)
値域→終域
集合論で写像を
f:A→B
と書くと
f={(a,f(a))|a∈A}
となります

対象を{0,1,2,3}
4で割った余りをとる射をf4
3で割った余りをとる射をf3
とすると
f4={(0,0),(1,1),(2,2),(3,3)}
f3={(0,0),(1,1),(2,2),(3,0)}
となります

対象をZ=(全整数)
とすると
f4={(4n,0),(4n+1,1),(4n+2,2),(4n+3,3)|n∈Z}
f3={(3n,0),(3n+1,1),(3n+2,2)|n∈Z}
となります

補足

ありがとうございます。
このときの対象はどうなっているのでしょうか？
dom(f4) ={0,1,2,3}, cod(f4)={0,1,2,3}
dom(f3)={0,1,2,3}, cod{f3)={0,1,2}
だと思うのですが、対象は、
X = {0,1,2,3}とY={0,1,2}の２つと考えるのでしょうか？
それとも、{0},{1},{2},{3}の４つなのでしょうか？