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No.1です。少し補足します。 √(1656+264√33)=√4(414+66√33)なので、2をくくりだして約分できますね。 最大値は1/32(√(414+66√33)(二重根号)です。 ついでに別解です。tanx=t とおくと、(0＜x＜π/3 より0<t<√3） sin2x=2t/(1+t^2) またcos2x=(1-t^2)/(1+t^2) であるから、 1/2（sin4x+sin2x)に代入すれば、 f(t)=1/2[(2t/(1+t^2))(1-t^2)/(1+t^2)+2t/(1+t^2)] となり、整理すると f(t)=(3t-t^3)/(1+t^2)^2 となる。…（１）xで微分して整理すれば f'(t)=(t^4-12t^2+3)/(1+t^2)^3 分母は常に正であるから、f'(t)=0 となるのは分子=0とおいて t=±√(6±√33）[二重根号、複号は任意]という4実数解のときである このうち0<t<√3の範囲にあるのは、t=+√(6-√33)（約0.5054）だけであり、 このときf'(t)の符号が、正⇒負 となるので、f(t)は最大値となる。 答え 最大値はf(√(6-√33)）=1/32(√(414+66√33)(二重根号) ただしこのときx=arctan（√(6-√33)） (二重根号） なお（１）のグラフは下の通りで、No.2様が書いてくださった元のsin3xcosxのグラフとは当然形が微妙に異なりますが、0<x<π/3 （0<t<√3)の範囲で、対応する値や最大値（約0.88）はもちろん一致しています。
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- 178-tall
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ANo.3 の結末の転記ミスを訂正。 sin(3*θ02)*cos(3*θ02)≒0.880
- 178-tall
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>0<θ<π/3 … の場合なら、No.1 さんの >sin3xcosx = 1/2(sin4x+sin2x) … のほうが簡単ですネ。 右辺の非負零点 x≒0.593 = cos(2θ) から、θ≒0.468 (radian) が得られます。 もう一つは「負零点」なので、第一象限の零点を割り出すのに手がかかる。
- 178-tall
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>y= sin3θcosθの最大値を出してほしいです。 >0<θ<π/3 … 3 倍角公式 sin3θ= 3sinθ-4sin^3θ で sinθ = t として、 sin3θcosθ = (3t-4t^3)*√(1-t^2) = f(t) ↓ 微分 f’(t) = { 16t^4 + 18t^2 + 3 }/√(1-t^2) f’(t) の零点 t01, t02 を求めると、 t01≒0.960 → θ01≒1.287 (radian) t02≒0.451 → θ02≒0.468 (radian) なので、θ02 が >0<θ<π/3 … に該当。 明らかに「最大値」らしいから、求めてみる。 sin(3*θ02)*cos(3*θ02)≒0.870
- BASKETMM
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私の回答は、求められている答ではありません。 他の方の回答をイメージで分かりやすく出来ればと口を出しました。 グラフを見ると安心するでしょう。 グラフは、http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3Dx%5E2 に 画いて貰いました。
- staratras
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やや計算が面倒なので、少し途中を省略しています。 f(x)=sin3xcosx は、三角関数の積⇒和の公式から f(x)=1/2(sin4x+sin2x) です。xで微分すると f'(x)=2cos4x+cos2x f'(x)=0 とすると f'(x)=4(cos2x)^2+cos2x-2=0 と変形できるのでcos2x=tとおくと 4t^2+t-2=0 よりt=(-1±√33)/8 また0<x<π/3 より-1/2<t<1 これを満たすtの値は t=(-1+√33)/8≒0.593… このときf'(x)は正⇒負となるのでf(x)が最大値となる cos2x=(-1+√33)/8 のときsin2x=(1/8)√(30+2√33) (二重根号)であるから f(x)=(1/2)((2sin2xcos2x)+sin2x)=(1/64)(√1656+264√33)（二重根号） 答え 最大値は(1/64)(√1656+264√33)（二重根号） (約0.8800862965) このときxはcos2x=(-1+√33)/8 を満たす（約0.4679647278rad,約26.81240387度） なおこの最大値は√(207+33√33)/512）(二重根号で左端のルートは右端の/512までかかる）とも表わせます。
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