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数学 不定方程式
masudayaの回答
- masudaya
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例えば,3X+5Y=1となる整数解は見つかれば, 解を44倍することで,3X+5Y=44の特殊解をみつけることが可能です. 後は,それぞれのX,Yに3X+5Y=0となる整数を加えても, 3X+5Y=44となるので,その中で,自然数解の条件を満たすものをみつければ良いことになります. 1)3X+5Y=1の特殊解 これは簡単で ,X=-3,Y=2がそれに当たる. 2)3X+5Y=44の特殊解 これは1)の解を44倍すれば求まるので X=-132,Y=88 3)3X+5Y=0の解 これをXについて解くと X=5/3 Yとなり,Xが整数であるためにはYは3の倍数である必要があり Y=3kとおける.(kは整数)よってXはX=-5kとなる. よって,一般の解は2)の解と3)の解の和 X=-132-5k,Y=88+3k となります.X,Yとも自然数が求める解になるので X>0のためには,k<-132/5=-26.4 Y>0のためには,k>88/3=-29.33… よって-29.33<k<-26.4なのでk=-29,-28,-27のときで (X,Y)=(13,1),(8,4),(3,7) が解となります.
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