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三角関数の微分
f(x)=e^arccosxの関数のイメージがまったくわかりません。 y=cosxの逆関数は,y=arccosxで、x=cosyとなります。 そうすると、y=e^yとありえない関数になってしまう気がします。 どこがおかしいのでしょうか。 また、f(x)を微分するとどうなるのでしょうか。
- wakakusa01
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y=e^(arccos(x)) (≧1) ln(y)=arccos(x) cos(ln(y))=x つまり, y=e^(arccos(x)) (≧1) は y=cos(ln(x)) (x≧1) の逆関数 ということです。 y=f(x)=e^(arccos(x))(≧1) ln(y)=arccos(x) cos(ln(y))=x -sin(ln(y))*(1/y)*y'=1 y'= -y/sin(ln(y)) = -{e^(arccos(x)}/sin(arccos(x)) y'=f'(x)= -{e^(arccos(x)}/√(1-x^2) ... (Ans.)
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- info33
- ベストアンサー率50% (260/513)
No.1 です。 お礼コメントの質問の回答 > sin(arccos(x))=√(1-x^2) がわからないのですね。 u=sin(arccos(x))=sin(v), v=arccos(x), (0≦v≦pi)とおけば cos(v)=x (-1≦x≦1, 0≦v≦pi) なので 0≦sin(v)≦1, sin(v)^2=1-cos(v)^2=1-x^2 ≧0,, ∴ u=sin(v)=√(1-x^2) となります。
お礼
info33 さま 丁寧な説明有難うございます。 よくわかりました。
- asuncion
- ベストアンサー率33% (2126/6288)
そういうときにはWolframに出てきてもらいましょう。 e^arccosx とか (e^arccosx)' とか入力すれば一発です。
- 参考URL:
- http://ja.wolframalpha.com/
お礼
asuncionさま 使い方がよく分からないのですが、(e^arccosx)'を入力すると、英語版でintegral e^arccosx になってしまいました。differential of e^arccosxにするとx^arccosxかと聞いてきます。なかなかたどりつけませんでした。 でも、情報提供有難うございます。
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