ネーピア数の各桁の引き算の結果

質問

最近円周率についての引き算で大変勉強させていただきましたが、小学生の勉強から離れてネーピア数で同じことをやってみるとはじめのうちは５６７６６４１４９４１３１２２３・・・となりますが、最終的には円周率と同じ分布になるのでしょうか。また無理数もすべて最終的には同じ分布になるのでしょうか。

回答No.4

tmpname · ベストアンサー

因みに各桁の差ではなくて、「各桁の数字が同じ割合で現れるか？」という問題については「正規数」
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E8%A6%8F%E6%95%B0
をご覧ください。
例えば1933年に示された Champernowne数
0.123456789 101112131415..... 979899 100101102103... 997998999 1000100110021003....
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%81%E3%83%A3%E3%83%B3%E3%83%91%E3%83%BC%E3%83%8E%E3%82%A6%E3%83%B3%E5%AE%9A%E6%95%B0
は無理数かつ超越数で、かつ10進正規数であることは証明されています。一方πやeが正規数であるかはいまだ判明してません。

（因みに各桁の差ではないですが）上に書いてあります通り「ほとんど全ての」実数は正規数（つまり各桁の数字は均等に現れる）です。一方で、正規数でない無理数もまた「実数全体と同じ数だけ」あります。

お礼

すでに私の頭の限界を超越している内容ですが、どこかありがたい感じがしています。

回答No.5

f272

#1です。
#2さんの回答をみてなかなかすごい超越数があるもんだと思った。面白いものだ。
ほとんどの無理数は0から9までの数字が1/10の確率で出現すると信じていますに変更しておこう。

お礼

ほとんどの無理数での分布とここで問題になっている超越数とで分布の仕方が違うのは不思議に思いました。同じ無理数だったら同じ分布の仕方でいいように思えたからです。

回答No.3

tmpname

> 各桁の数字のことか隣の桁の数の引き算か
どちらにしても、そうです。隣の桁同士の差を計算しても、1が2回現れた後は0がn!-2回現れるので、隣の桁同士の差も「ほとんど確実に」0です。

お礼

御教示に従って読ませていただきます。

回答No.2

tmpname

> 無理数もすべて最終的には同じ分布になるのでしょうか。
少なくともこれに関してはNoであることは言えます。例えばLiouvilleが1844に超越数が存在することを初めて証明した時に示した数

Σ[1≦n<∞] (10^(-n!)) = 0.1 1 0001 000000000000000001 000......
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%82%A6%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%83%AB%E6%95%B0

は超越数で従って無理数ですが、同じことをやってみると0か1しか現れず、しかも0の方が圧倒的に多いです（「ほとんど確実に」0です）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%81%BB%E3%81%A8%E3%82%93%E3%81%A9_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)#%E3%81%BB%E3%81%A8%E3%82%93%E3%81%A9%E7%A2%BA%E5%AE%9F%E3%81%AB

お礼

私の書き方が悪かったかと思いますが、ご教示の事は各桁の数字のことか隣の桁の数の引き算か、どちらのことなのでしょうか。理解力も悪くて申し訳ございません。

回答No.1

f272

どんな無理数も0から9までの数字が1/10の確率で出現すると信じていますし，実際に最初の方の桁で実験してもその通りになります。しかし，それを証明した人はいません。

お礼

途中で分布の偏りがあるように見えても最終的には同じになるということですね。