• 締切済み

次の重積分について質問です。

noname#232123の回答

noname#232123
noname#232123
回答No.2

I=∫[1~√3]{∫[1~y]ydx/(x^2+y^2)^2}dy =∫[1~√3]【A*y^(-2) - (1/2)y^(-2)*arctan(1/y) - (1/2)*1/{y(1+y^2)}】dy =(1/4)*{1 - 1/√3} - pi/(24√3). となり、前の方の結果と一致します。

関連するQ&A

  • 重積分について質問です。

    次の累次積分の値は何になりますか。 ∫[x=1,√3]{∫[y=1,y]y/(x^2+y^2)^2 dx}dy

  • 次の大学数学の問題の解答解説をお願いします。

    次の累次積分の値を求めなさい。 ∫[0→1/√2]{∫[0→x]1/(√(1-(x^2)-(y^2)+(xy)^2))dy}dx

  • 重積分の順序の交換

    非有界な関数f(x,y)を重積分(0≦x≦1,0≦y≦1)することを考えます。 具体的にはf(x,y)=(x-y)/(x+y)^3です。 この時、xで先に積分するか、yで先に積分するかで値が変わることはありますか? 僕が行った計算では、変数変換(x,z)=(x,x+y)とすると、ヤコビアンは1でdxdy=dxdzで、 ∫_0^1 dx ∫_0^1 f(x,y) dy =∫_0^1 dx ∫_x^{x+1} (2x-z)/(z^3) dz =∫_0^1 dx 1/(x+1)^2 = 1/2 zの積分はxを定数として計算しています。 ここで、逆の順序で積分すると、xとyの変数を入れ替えたものは等しいので、 ∫_0^1 dx ∫_0^1 (x-y)/(x+y)^3 dy =∫_0^1 dy ∫_0^1 (y-x)/(x+y)^3 dx = - ∫_0^1 dy ∫_0^1 (x-y)/(x+y)^3 dx =1/2 よって、 ∫_0^1 dy ∫_0^1 (x-y)/(x+y)^3 dx = -1/2 だと思うのです。 また、直感的には、交代式を直線x=yに対称な領域で積分するなら、 ∫_0^1 dx ∫_0^1 (x-y)/(x+y)^3 dy = 0 が正しいとも思えます。 どうかこの辺の事情をお教えください。

  • 重積分の問題が分かりません

    ∫[0→1]{∫[√y→1]e^(y/x)dx}dy という式なのですが、xについての積分しようとしたのですがド忘れしてしまって困っています。 積分するとどうなるんでしょうか?

  • 累次積分の順序変更

    累次積分の積分順序の変更 累次積分 ∫(1→2)dy∫(y-1→y+1)f(x、y)dx の積分順序を変えよ 1≦y≦2 y-1≦x≦y+1 だから。 xy平面にグラフを書く。 すると平行四辺形がかけました。 ↑の累次積分ではxの積分→yの積分の順序なので yの積分→xの積分に順序を変えます。 以上からグラフの形より積分を3つに分けて {∫(0→1)dx∫(1→x+1)f(x、y)dy}+{∫(1→2)dx∫(1→2)f(x、y)dy} +{∫(2→3)dx∫(x-1→2)f(x、y)dy} このようになりました。 わざわざ3つにわける必要はなかったでしょうか? そもそもやり方はあってるのでしょうか。。。 どなたか教えていただけないでしょうか!

  • 重積分について教えてください。

    微分積分の回答をお願いいたします。;重積分について 次の重積分を累次積分にて計算せよ、(また、積分の領域も図示せよ) (1)∬D(x+y)dxdy,Dはy軸、y=x、y=1で囲まれた部分。 (2)∬Dxydxdy,Dはx軸、y=√x、x=1で囲まれた部分。 回答と積分の領域の図をお願いいたします。

  • 次の重積分を求めよがわかりません。

    次の重積分を求めよがわかりません。 かなり初歩的だと思うのですが、独学なので聞く相手がおらず困っております。 ∫∫D e^(-x-y) dx dy D={(x,y)| 0<=x<=1, 0<=y} 計算過程を書いて説明してもらえると幸いです。 よろしくお願いします。

  • 重積分の問題

    ∬D e^(y^2) dx dy D:0≦x≦1,x≦y≦1 こたえは、(e/2)-(1/2) なんですが、途中の積分がわからないです。 つまり、e^(y^2)を積分すると どうなるかなんですが・・・(××) わかるかたいましたら教えてください。

  • 重積分の領域について

    ∫(0→e)dx∫(0→logx) (1+y)/x dy を順序変更して累次積分せよ。 という重積分の問題なのですが、この積分領域がわからずに困っています。 単純に、D:{(x,y)|0≦x≦e , 0≦y≦logx} と解釈して、この積分領域を図示すると結局、 Dは、D':{(x,y)|1≦x≦e , 0≦y≦logx}という領域と同じようになってしまい、与式の重積分のxの積分区間を0→eと書く意味がない(1→eとはじめから書いてあればいい)ので、この解釈は誤りな気がします。 そこで,0≦y≦logxの部分を 0<x≦1のとき logx≦y≦0 , 1≦x≦eのとき 0≦y≦logx という解釈をしてみて、 領域D1:{(x,y)| 1≦x≦e,0≦y≦logx}領域Dn:{(x,y)|1/n≦x≦1, logx≦y≦0}という領域に分割してみて、順序変更するために 領域D1:{(x,y)| e^y≦x≦e,0≦y≦1}領域Dn:{(x,y)|1/n≦x≦e^y, log(1/n)≦y≦0} と書き直し、 (与式)=∫(0→1)dy∫(e^y→e) (1+y)/x dx + lim(n→∞) ∫(log(1/n)→0) dy∫(1/n→e^y) (1+y)/x dx として解いてみたところ、第2項が発散してしまい収束値が求められませんでした。 この領域の解釈も間違いなのでしょうか? 今回のように積分領域が捉えづらい問題の場合、どのようにそれを判別すればよいのかをご指導いただけるとありがたいです。 式の表示がわかりにくく、大変お手数をおかけしますが、回答よろしくおねがい致します。

  • 重積分の範囲 の問題が解けません・・・。;o;

    次の線積分の値を求めよっていう問題なんですが・・。 1)∫c x2 dx+2xydy C:(1,1)から(-1,3)へ直線で結んだもの。(x2はxの二乗のことです。) 2)∫c xydy+ ex2dy C:y=x2,向き:(0,0)→(2,4). <ex2はeのxの2乗乗で、x2はxの二乗のことです>. 3)∫c y2dx+x2dy C:x=cost,y=sint (t:0→π) <y2はyの二乗、x2はxの二乗のことです。> 答えは、1)-2, 2)3+eの4乗, 3)-4/3 です。どうやったら、これらの値になるのでしょうか?困ってます。 ;o;