連立系の同値性

質問

https://i.imgur.com/1hcwLvl.jpg

2数のペアの存在条件となっていますが

(4)かつ(5)を満たす実数bが存在するためのaの条件と考えれば、以下の写真の1文字についての存在条件と同種の議論にならないんですか？

回答No.1

tmpname

ちょっと面倒臭いので、f(a,b) := a^3 - 3ab -b^2 -b, g(a,b) = a^2 - 4bと置きます。
さて、a=0, b=-1 は、f(a,b) = 0, g(a,b)≠0を満たします。つまりa=0の時も(4)、(5)を満す(a,b)のpairはある訳ですが、画像の回答では「a=0を除く」ってやってしまってますから、正しくないわけです。さてどこがいけないのか...？

解答を追いましょう。
まず、(4)をbについて、判別式を取って、a≧-1/4 (6) という式を出していますが、一旦(6)は何なのかを整理します。これは、「(a, b)が(4)を満す ⇒ a≧-1/4」かつ、「a≧-1/4 ⇒ (a,b)が(4)を満す何らかのbが存在する」ということです。『ここまではよい』。
問題はその次。ここで、 a^2 - 4b≠0 ⇒ b≠ (a^2)/4 はいいですが、だからといって f(a, (a^2)/4)≠0 が成り立つとは限らないでしょう？この代入は何を意味していますか？あくまで問題は、「f(a,b)=0 かつ g(a,b)≠0」です。 g(a,b) = 0 ⇔ a^2 = 4b⇔b=(a^2)/4でしたから、 f(a, (a^2)/4)≠0 というのは、『 g(a,b)=0ならば f(a,b)≠0 』という条件を調べていることになり、『g(a,b)≠0』という本来調べたい式とは全然別のものです。

(5)が『不等号』になっているのがポイントですが、その『不等号』の扱い方を間違っている。

でどうするか。この場合、(4)かつ「g(a,b) = 0」(7)を満す(a, b)の条件を考える。で、ともかく一旦出してみると、(4)かつ(7)⇔ (a,b) = (0,0) or (2,1)となります。

で、状況を整理する。まず、(6)は、「(a, b)が(4)を満す ⇒ a≧-1/4」かつ、「a≧-1/4 ⇒ (a,b)が(4)を満す何らかのbが存在する」ということでした。で、(4)かつ(7)⇔ (a,b) = (0,0) or (2,1) ⇒ a=0 or 2 ということです。従って、まず確定するのは、『a≧-1/4 かつ、a≠0かつ a≠2 ⇒ (a,b)が(4)を満す何らかのbが存在し、かつその(a,b)は(7)を満さ「ない」⇔ (a,b)が(4)を満す何らかのbが存在し、かつその(a,b)は(5)を満す』となります。

問題は、 a=0 or 2 の時は、「(a,b)が(4)を満す何らかのbが存在する」ことは分かっていますが、ここで(a,b) = (0,0)or (2,1)の時は(7)を満す（従って (5)を 満たさない）、という「だけであって」、『それ以外のbの可能性がないかはまだ調べてない』。
なので直接調べる。実際a=0の時は(4)からb=0or -1となりますが、且つ (5)から、(a,b) = (0,-1)となる。従って、a=0の時は(4)、(5)を満す(a,b)のpairはある。 a=2の時は(4)からb=-8, 1ですが、且つ(5)から (a,b) = (2, -8)となる。従ってa=2の時も(4)、(5)を満す(a,b)のpairはある。

従って、結論として a≧-1/4の時は、(4)、(5)を満す(a,b)のpairはある。かつ、(a,b)が(4)、(5)を満す⇒ a≧-1/4であったので、これが求めるものになります。