【院試】分布定数回路の反射係数がわかりません！

質問

分布定数回路の反射係数がわかりません。問題文、図に関しましては、画像を添付させていただいています。質問内容としましては、１つめは、R1,R2が並列に接続されているため、入力電圧は(1/3)Eで合っていますか？２つめは、R3,R4,R5の取り扱いです。私は並列に接続されている線路の特性インピーダンス(Z1//Z2//Z3)を並列とみなして、次にコンデンサとZ1,Z2,Z3を並列とみなしました。{(1/jωc)//(Z1//Z2//Z3)}としました。そうした場合R3,R4,R5と{(1/jωc)//(Z1//Z2//Z3)}の反射係数を求めようとしました。そうするとR3,R4,R5の取り扱いがよくわからなくなりました。そこでお願いがあります。解答、導出過程をお願いします。また上記の質問に関しても良ければお答えください。よろしくお願いいたします。

回答No.1

info33 · ベストアンサー

分布定数線路Z0,Z1,Z2,Z3を端子番号を使って11'-22'、66'-33'、77'-44'、88’-55' とします。

１つめ
>入力電圧は(1/3) Eで合っていますか？
間違いです。R1は（電圧）入射波には影響しません。
正しくは
t=0における11'からの入射波v1
　v1=E*Z0/(R2+Z0)=E/2 (0<t<2T=2 l/g0)
tの関数で書けば u(t)を単位ステップ関数とすれば
　v1(t)=(E/2) u(t)
です。

２つめ
>私は並列に接続されている線路の特性インピーダンス(Z1//Z2//Z3)を並列とみなして、次にコンデンサとZ1,Z2,Z3を並列とみなしました。

このように考えても問題ないでしょう。

>{(1/jωc)//(Z1//Z2//Z3)}としました。
　jωは交流回路（定常状態）で用いるもので、分布定数回路の過渡現象でL, Cを
扱う場合はラプラス変換のsを使ってインピーダンスはLsや1/Csを用います。すなわち
　合成インピーダンスZa={(1/Cs)//(Z1//Z2//Z3)}={(1/Cs)//(3Z0//3Z0//3Z0}
　　={(1/Cs)//Z0}=1/(Cs+1/Z0)=Z0/(1+sCZ0)
となります。

>そうした場合R3,R4,R5と{(1/jωC)//(Z1//Z2//Z3)}の反射係数を求めようとしました。そうするとR3,R4,R5の取り扱いがよくわからなくなりました。

Z1=R3,Z2=R4,Z3=R5なので33', 44', 55' で整合が取れており、末端33', 44', 44' での反射係数r3, r4, r5 はすべてゼロ、したがってR3, R4, R5からの反射波はいずれも存在しません。つまり、Z1, Z2, Z3 は取り除いてR3, R4, R5を直接 Cに並列接続した回路に置き換えが可能です。R3=R4=R5=3Z0なので、R3,R4,R5の並列接続は合成抵抗(3Z0//3Z0//3Z0)=Z0で置き換えることができます。
したがって、Cから右を見た回路は、CとZ0(=R1)の並列回路で置き換えることができます（等価回路置換）。簡単のため、以降この等価回路モデルを用いることとする。

[詳しい解析]

t=0に 11' からZ0への入射波v1
　v1=E*Z0/(R2+Z0) u(t)=(E/2) u(t)、ここで u(t)は単位ステップ関数。
　V1(s)=L{v1}=(E/2)/s
t=Tにおける 22' (C) への入射波v2
　v2=(E/2) u(t-T)、
　V2(s)=L{v2}=(E/2)*(1/s) e^(-Ts)
Z0 ( 22' ) からC側を見た時の（等価回路モデル）合成インピーダンスZa は、
　Za=(1/Cs)//(3Z0//3Z0//3Z0)=(1/Cs)//Z0=Z0/(1+Z0Cs)
　22' における反射係数r2=(Za-Z0)/(Za+Z0)= -sCZ0/(2+sCZ0)
t=l/g0=T における22' (Za) から反射波 v21、V21(s)=L{v21(t)}　
　V21(s)=V2(s)*r2= -(E/2)CZ0*e^(-T*s)/(2+sCZ0)
　　= -(E/2)*e^(-T*s)/(s+2/(CZ0)),
　v21=L^-1{V21(s)}= -(E/2) e^(-2(t-T)/(CZ0)) u(t-T)
t=2TにおけるZ0から11'への入射波v3(t)、V3(s)=L{v3(t)}
　V3(s)=V21(s) e^(-T*s)=-(E/2)*e^(-2T*s)/(s+2/(C*Z0))
　v3=L^-1{V3(s)}= -(E/2) e^(-2(t-2T)/(CZ0)) u(t-2T)
　11'の反射係数r1=(R1+R2-Z0)/(R1+R2+Z0)=Z0/(3Z0)=1/3
　11'の透過波v32, V32(s)=L{v32} は
　V32(s)=(1+r1)V3(s)=(4/3)(-E/2) e^(-2T*s)/(s+2/(CZ0))
　　= -(2E/3) *{1/(s+2/(C Z0))} e^(-2T*s)
　v32=L^-1{V32(s)}= -(2E/3) e^(-2(t-2T)/(C Z0)) u(t-2T)
　11'の反射波v31, V31(s)=L{v31}
　V31(s)=r1*V3(s)=(1/3)(-E/2) e^(-2T*s)/(s+2/(CZ0))
　　= -(E/6) *{1/(s+2/(C Z0))} e^(-2T*s)
　v31=L^-1{V31(s)}= -(E/6) e^(-2(t-2T)/(C Z0)) u(t-2T)
t=3Tにおける
　22'への入射波v4, V4(s)=L{v4}
　　V4(s)=V31(s) e^(-Ts)= -(E/6) *{1/(s+2/(C Z0))} e^(-3T*s)
　　v4= -(E/6)*e^(-2(t-3T)/(CZ0)) u(t-3T)
　22'での反射波v41, V41(s)=L{v41}
　　V41(s)= r2 V4(s)= -sCZ0/(2+sCZ0)(-E/6) *{1/(s+2/(C Z0))} e^(-3T*s)
　　　=(E/6) s/(s+2/(CZ0))^2 *e^(-3T*s)
　　v41=L^-1{V41(s)}
t=4Tにおける
　11'への入射波V5(s), v5=L^-1{V5(s)}
　　V5(s)=V41(s) *e^(-T*s)=(E/6) s/(s+2/(CZ0))^2 *e^(-4T*s)
　v5はt=4Tに到達する入射波なので求める0<t<4Tの範囲外。
以上から
0<t<4Tの範囲の11'の端子電圧vは次式で与えられる。
　v=v1+v32=(E/2) u(t) -(2E/3) e^(-2(t-2T)/(C Z0)) u(t-2T)
　(ここでT=l/g0)
これを図示すると添付画像のようになる。

お礼

丁寧な回答ありがとうございます。非常に助かりました。またの機会がありましたらよろしくお願いします。

回答No.2

info33

No.1です。
ANo.1に図が添付できませんでしたので、改めて添付しなおします。

お礼

回答ありがとうございます。図まで添付して頂き非常に助かります。