大学数学の難問

質問

以下に与える集合族Eから生成される有限加法族σ_0[Y]、σ-加法族σ[Y]、単調族M[Y]を求めよ。

(1)Y={E：E⊂A}、ただし、A⊂Xは固定。

(2)Y={E：＃E=2}、ただし、＃X ≥ 2とする。

(3)Y={T^(-1)(E)：E⊂Y}、ただし、T：X→Y

難しすぎて分かりません。一問だけでも良いのでよろしくお願いします。

回答No.5

tmpname

> (3)はYのように見えましたが、記号が違いました。申し訳ございません。
> A={T^(-1)(E)：E⊂Y}、ただし、T：X→Yとしてください。

求めるものは、σ_0[Y]とかとなっていて、そうするとAは全く関係なくなってしまいますが、もう一度確認して下さい。

回答No.4

tmpname

取り敢えず (3)はYを定義するのにYをつかっていて、Yの定義が完成していないので、もう一度確認してください。

補足

２問もありがとうございます。

(3)はYのように見えましたが、記号が違いました。申し訳ございません。

A={T^(-1)(E)：E⊂Y}、ただし、T：X→Yとしてください。

回答No.3

tmpname

> X = 2なら、Y = {X}だから、∅ ∪ {X}が既に求めるものである。
正しくは、{∅} ∪ {X}が既に求めるものである。です。

回答No.2

tmpname

(2)のσ_0[Y]：
#X = 2なら、Y = {X}だから、∅ ∪ {X}が既に求めるものである。
#X≧3の場合：
任意のa∈Xをとる。#X≧3だから、aと異なる元b、aともbとも異なる元cがあって、{a,b}∈Y, {a,c}∈Y であるから、{a,b}∩{a,c} = {a}∈σ_0[Y]となる。
有限加法族は「有限回の」合併について閉じるから、任意の有限個の元a_0, a_1, ..., a_nに対し、{a_0, a_1, ..., a_n}∈σ_0[Y]となる。
結局Z_1 = {A⊂X: Aは有限集合（元が0個の場合も含む）}とすると、Z_1⊂σ_0[Y]となる。従って、Z_2 = {A⊂X: X\Aは有限集合}も、Z_2⊂σ_0[Y]となる。

ここでZ_1∪Z_2は有限加法族である。
a) P, Q∈Z_1∪Z_2 ならばP∪Q∈Z_1∪Z_2であること。
P, Q∈Z_1なら、P∪Q∈Z_1 となる。P∈Z_2なら、X\Pは有限集合だから、X\(P∪Q) ⊂ X\Pも有限集合でP∪Q∈Z_2。Q∈Z_2も同様。
b) P∈Z_1∪Z_2 ならば X\P∈Z_1∪Z_2であること。あきらか。
c) ∅∈Z_1∪Z_2 であること。∅∈Z_1であるからよい。

従って、Z_1∪Z_2が求めるものである。

(2)のσ[Y]
#X = 2なら、Y = {X}だから、∅ ∪ {X}が既に求めるものである。
#X = 3なら、同様にZ_3 = {A⊂X: Aは高々可算} Z_4 = {A⊂X: X\Aは高々可算}とすると、Z_3∪Z_4が求めるものである。詳しくは検証してください。可算個の可算集合の和集合は可算集合であることに注意。

(2)のM[Y]
Yが既に単調族である。
P, Q∈YでP⊂Qなら、P=Qでなければならない。そうすると、拡大列の極限に関しては、P_0⊂P_1⊂P_2 ⊂... ∈Yなら、任意のnに対してP_n = P_0であって、∪_n P_n = P_0∈Yである。縮小列も同様。

(3)は時間があれば考えます。

回答No.1

tmpname

「X上の」有限加法族等を考える、ということでいいですよね？取り敢えず (1)の途中まで。

(1)のσ_0[Y]
任意のE⊂Aを取ると、E∈Y⊂ σ_0[Y]となるが、有限加法族の定義から同時にX\E∈σ_0[Y]となる。この時、X\E ⊃ X\A。
逆に任意のF⊃X\Aを取ると、X\F ⊂ AはX\F∈Y⊂σ_0[Y] となるから、F = X\(X\F)∈σ_0[Y]。
つまり、Y_2 = {F: F⊃ X\A}とすると、σ_0[Y]⊃Y∪Y_2。

ところで、Y∪Y_2は既に有限加法族である。
a) P, Q∈Y∪Y_2 ならばP∪Q∈Y∪Y_2であること。
P, Q∈Yなら、P, Q⊂Aであるから、P∪Q⊂AとなりP∪Q∈Y。
P∈Y_2なら、P⊃X\Aから、P∪Q⊃X\Aであって、P∪Q∈Y_2。Q∈Y_2の時も同様。
b) P∈Y∪Y_2 ならば X\P∈Y∪Y_2であること。
P∈YならX\P∈Y_2。P∈Y_2ならX\P∈Yであるからよい。
c) ∅は元々∅∈Yであるからよい。

従ってY∪Y_2が求めるσ_0[Y]である。

(1)のσ[Y]
上で求めたY∪Y_2は、同時に完全加法族である。詳しくは検証してください。

(1)のM[Y]
Yは既に単調族。拡大列の極限に関しては、P_0⊂P_1⊂P_2 ⊂... ∈Yなら、任意のnに対してP_n⊂Aであるから、∪_n P_n⊂Aである故、∪_n P_n∈Yである。縮小列の極限も同様。