何次?

質問

y=(x-Sqrt[x^2-1])/(Sqrt[x^2-1]+x)
を含む　最小の代数曲線　c を求めて下さい;

獲た　c の　次数は　? 　　　 __次。
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永田雅宜著，理系のための線型代数の基礎，紀伊國屋書店(1987)

復刻, 線型代数書評 | 17:25
理系のための線型代数の基礎
作者: 永田雅宜
出版社/メーカー: 紀伊國屋書店
発売日: 1987/01/01
メディア: 単行本
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英語力の無さから国際会議の原稿が煮詰まっているので、久しぶりの書評。

永田雅宜著と書いたが、これは代表著者であり著者は20人ほどとなっている。永田先生と言えば、可換環論。
ひらがなで書けば「かかんかんろん」。良い響きだ。
かかんかんろんといえばSyzygy(シチジー)が思い出される。今何時。
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c　の　双対曲線c^★を　多様な発想で求めて下さい；

c^★の特異点を求め　其の君の名は_________と明記下さい。

獲た特異点に対応する　c の　接線を　求めて　cと共に図示願います；
(また　接点をも明記願います)

不定方程式(Diophantine equation)を解いて下さい;
c^★∩Z^2=

回答No.1

jcpmutura

y={x-√(x^2-1)}/{√(x^2-1)+x}
↓両辺に√(x^2-1)+xをかけると
{√(x^2-1)+x}y=x-√(x^2-1)
xy+y√(x^2-1)=x-√(x^2-1)
↓両辺に{√(x^2-1)}-xyを加えると
y√(x^2-1)+√(x^2-1)=x-xy
(y+1)√(x^2-1)=x(1-y)
↓両辺を2乗すると
(x^2-1)(y+1)^2=x^2(1-y)^2
↓両辺に(y+1)^2-x^2(1-y)^2を加えると
x^2(y+1)^2-x^2(1-y)^2=(y+1)^2
x^2{(y+1)^2-(1-y)^2}=(y+1)^2
4yx^2=(y+1)^2
4yx^2=y^2+2y+1
↓両辺からy^2+2y+1を引くと
↓y={x-√(x^2-1)}/{√(x^2-1)+x}を含む
↓最小の代数曲線Cは

C:4yx^2-y^2-2y-1=0

だから
Cは
3次
曲線
------------------
4yx^2=(y+1)^2
x^2=(y+1)^2/(4y)
x=±(y+1)/(2√y)
x'=±(y-1)/(4y√y)
だから
接点を(X,Y)とする接線は
x=±[{(Y-1)/(4Y√Y)}(y-Y)+(Y+1)/(2√Y)]
x=±[{(Y-1)/(4Y√Y)}y+(Y+3)/(4√Y)]

4yx^2-y^2-2y-1=0
の接線を
cy=ax+b
として接点を(x,y)とすると
x=(y-b)/a=cy/a-b/a

±(Y-1)/(4Y√Y)=c/a
±(Y+3)/(4√Y)=-b/a

(Y+3)^2/(16Y^2)=b^2/a^2
a^2(Y+3)^2=16b^2Y^2
a^2Y^2+6Ya^2+9a^2=16b^2Y^2
(a^2-16b^2)Y^2+6Ya^2+9a^2=0
{(a+4b)Y+3a}{(a-4b)Y+3a}=0

Y=3a/(4b-a).or.Y=-3a/(4b+a)

Y=3a/(4b-a)の時
(Y-1)^2=16(a-b)^2/(4b-a)^2
1/Y^3=(4b-a)^3/27a^3

c^2=a^2(Y-1)^2/Y^3/16
c^2=(a-b)^2(4b-a)/(27a)

(4b-a)(a-b)^2=27ac^2
(4b-a)(a^2-2ab+b^2)=27ac^2

-27ac^2-a^3+6ba^2-9ab^2+4b^3=0
a=-cx/y
b=-c/y
とすると
c^3(27x+x^3/y^2+6x^2/y^2+9x/y^2-4/y^2)/y=0

27x+x^3/y^2-6x^2/y^2+9x/y^2-4/y^2=0

27xy^2+x^3-6x^2+9x-4=0
27xy^2=(4-x)(x-1)^2

Y=-3a/(4b+a)の時
(Y-1)^2/16=(b+a)^2/(4b+a)^2
1/Y^3=-(4b+a)^3/(27a^3)

c^2=a^2(Y-1)^2/(16Y^3)
c^2=-(b+a)^2(4b+a)/(27a)

(4b+a)(b+a)^2=-27ac^2
(4b+a)(a^2+2ab+b^2)=-27ac^2

27ac^2+a^3+6ba^2+9ab^2+4b^3=0
a=-cx/y
b=-c/y
とすると
-c^3(27x+x^3/y^2+6x^2/y^2+9x/y^2+4/y^2)/y=0
27x+x^3/y^2+6x^2/y^2+9x/y^2+4/y^2=0

27xy^2+x^3+6x^2+9x+4=0
27xy^2=-(x+4)(x+1)^2

Cの双対曲線C^*は
C^*:|27xy^2+x^3+9x|=6x^2+4
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27xy^2=(4-x)(x-1)^2,(0<x≦4)
27xy^2=-(x+4)(x+1)^2,(-4≦x<0)

y=±{1/(3√3)}(x-1)√{(4-x)/x},(0<x≦4)
はx=1で微分不可能だから
(1,0)が特異点
-c=by=0
c=0
a/b=x=1
だから(1,0)に対応する接線は
x=cy/a-b/a=-b/a=-1
x=-1

y=±{1/(3√3)}(x+1)√{-(x+4)/x},(-4≦x<0)
はx=-1で微分不可能だから
(-1,0)が特異点
-c=by=0
c=0
a/b=x=-1
だから(-1,0)に対応する接線は
x=cy/a-b/a=-b/a=1
x=1

C^*の特異点は(±1,0)
-----------------------------
27xy^2=(4-x)(x-1)^2
の時
0≦27x^2y^2=x(4-x)(x-1)^2
0≦x(4-x)
x(x-4)≦0
0≦x≦4
x=0を仮定すると
0=27xy^2=(4-x)(x-1)^2=4となって矛盾するから
0<x≦4
(x,y)∈Z^2とすると
x=2を仮定すると
27*2y^2=2
y^2=1/27だからy∈Zに矛盾するからx≠2
x=3を仮定すると
27*3y^2=4
y^2=4/81だからy∈Zに矛盾するからx≠3
x=1の時27y^2=0→y=0→(x,y)=(1,0)
x=4の時27y^2=0→y=0→(x,y)=(4,0)

-27xy^2=(x+4)(x+1)^2
の時
0≧-27x^2y^2=x(x+4)(x+1)^2
x(x+4)≦0
-4≦x≦0
x=0を仮定すると
0=-27xy^2=(x+4)(x+1)^2=4となって矛盾するから
-4≦x<0
(x,y)∈Z^2とすると
x=-2を仮定すると
27*2y^2=2
y^2=1/27だからy∈Zに矛盾するからx≠-2
x=-3を仮定すると
27*3y^2=4
y^2=4/81だからy∈Zに矛盾するからx≠-3
x=-1の時27y^2=0→y=0→(x,y)=(-1,0)
x=-4の時27y^2=0→y=0→(x,y)=(-4,0)
∴
c^*∩Z^2={(±1,0)(±4,0)}