連立一次方程式が解を持つ条件

質問

次の非斉次型の連立一次方程式が解を持つ条件を求めよ、という問題なのですが導き方がいまいち分かりません。Ax=b　とすると rankA=rank(A,b) が成り立てばいいと思うのですが、rankを出すために基本変形しても略解の答えをどう導けばいいのかわからない状態です。
尚、問題は永田雅宜先生の「理系のための線形代数の基礎」からです。

(1)
(m+1)x + y + z = m-2
x + (m+1)y + z = -2
x + y + (m+1)z =-2

(2)
x + y + z =1
ax + by + cz = k
a^2x + b^2y + c^2z = k^2
(abc≠0)

答えは(1) m≠-3 (2) (a-b)(b-c)(a-c) ≠0 または(a-k)(b-k)(c-k)=0 　
です。

回答No.1

grothendieck · ベストアンサー

「無」という深遠な回答が多数寄せられて心強い限りですね。
行列の列について基本変形すると

添付ファイルのようになる。したがってm≠0, -3 のときは明らかにrankA=rank(A,b) だから解を持つ。
m=0 のときrankA=rank(A,b)=1 だから解を持つ。
m=-3 のときrankA=2, rank(A,b)=3 だから解を持たない。