級数解を求める常微分方程式の問題について

質問

t=0の周りでの級数解を求める問題なのですが、
t(1-t) x'' - (1+2t) x' +2x = 0
という問題の答え（途中式無しで）のところに
φ = 1 + 2t
ψ = t^2 Σ[k=0: ∞] (k + 3)*t^k

とあるのですが、なんでこんな形で答えが書いてあるのでしょうか。
それがまずわからないので、どの類題を解いても全部答えが間違ってしまいます。

また、上の問題のt^kの係数を０にすることで数列っぽいものを導く直前の四季の形が以下のようになりました。

Σ[k=0:∞] { (k-1)(k+1) c_{k+1} - (k-1)(k+2) c_{k} } t_{k} =0
これを利用して
c_{k+1} = (k+2) c_{k} / (k+1)
のような数列を作って答えが

x = c_{0} Σ[k=0:∞] (k+1) t^k
となったのですが、これも間違っているのでしょうか。

どなたかわかる方がいらっしゃれば教えていただけないでしょうか
よろしくお願いします。

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

t(1-t)x"-(1+2t)x'+2x=0

x=Σ_{k=0～∞}c(k)t^k…(1)
としてこれを微分すると
x'=Σ_{k=1～∞}kc(k)t^{k-1}
↓さらに微分すると
x"=Σ_{k=2～∞}k(k-1)c(k)t^{k-2}

t(1-t)x"-(1+2t)x'+2x=0
=
Σ_{k=2～∞}k(k-1)c(k)(1-t)t^{k-1}
-Σ_{k=1～∞}kc(k)(t^{k-1}+2t^k)
+Σ_{k=0～∞}2c(k)t^k
=
Σ_{k=1～∞}(k+1)kc(k+1)t^k-Σ_{k=2～∞}c(k)k(k-1)t^k
-Σ_{k=0～∞}(k+1)c(k+1)t^k-Σ_{k=1～∞}2kc(k)t^k
+2c(0)+2c(1)t+Σ_{k=2～∞}2c(k)t^k
=
2c(2)t+Σ_{k=2～∞}k{(k+1)c(k+1)-(k-1)c(k)}t^k
-c(1)-2{c(2)+c(1)}t-Σ_{k=2～∞}{(k+1)c(k+1)+2kc(k)}t^k
+2c(0)+2c(1)t+Σ_{k=2～∞}2c(k)t^k
=
2c(0)-c(1)+Σ_{k=2～∞}[(k-1){(k+1)c(k+1)-(c+2)c(k)}]t^k=0
↓
2c(0)-c(1)=0
↓
c(1)=2c(0)…(2)

k≧2の時
(k+1)c(k+1)-(k+2)c(k)=0
(k+1)c(k+1)=(k+2)c(k)
c(k+1)=(k+2)c(k)/(k+1)

P(k)=[c(k)=(k+1)c(2)/3]
とすると
P(2)=[c(2)=3c(2)/3]は真
ある自然数k≧2に対して
P(k)が真と仮定すると
c(k)=(k+1)c(2)/3
↓
c(k+1)=(k+2)c(k)/(k+1)
=(k+2)(k+1)c(2)/3/(k+1)
=(k+2)c(2)/3
↓
P(k+1)は真
だから
全ての自然数k≧2に対して
P(k)は真だから
c(k)=(k+1)c(2)/3…(3)

(2),(3)を(1)に代入すると
x=c(0)(1+2t)+{c(2)/3}t^2Σ_{k=0～∞}(k+3)t^k

φ=1+2t
ψ=t^2Σ_{k=0～∞}(k+3)t^k
A=c(0)
B=c(2)/3
とすると
x=Aφ+Bψ