数I 因数分解

質問

宿題でこのような問題が出されました

x³+y³+8z³-6xyzを因数分解せよ

似たような公式で
a³+b³+c³-3abc=（a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca）
がありますが、関係あるのですか…？
解説・答えがないので
ご解説お願いします

回答No.3

noname#227255

まずは、
a^2+b^2+c^2-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
になることを確認します。
ただ丸暗記するのではなく、なぜこうなるのかを理解することが重要です。

a^3+b^3
=(a+b)^3-3a^2b-3ab^2
=(a+b)^3-3ab(a+b)※1
=(a+b){(a+b)^2-3ab}
=(a+b)(a^2+2ab+b^2-3ab)
=(a+b)(a^2-ab+b^2)※2
であるから、

a^3+b^3+c^3-3abc
=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc（※1の形を利用）
={(a+b)^3+c^3}-{3ab(a+b)+3abc}
={(a+b)+c}{(a+b)^2-(a+b)c+c^2}-3ab{(a+b)+c}（※2の形を利用）
=(a+b+c)(a^2+2ab+b^2-ca-bc+c^2)-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a^2+2ab+b^2-ca-bc+c^2-3ab)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)

あとは、この式において、a=x、b=y、c=2zとすると、
x^3+y^3+(2z)^3-3*x*y*2z
=x^3+y^3+8z^3-6xyz－与式
=(x+y+2z){x^2+y^2+(2z)^2-xy-y*2z-2zx}
=(x+y+2z)(x^2+y^2+4z^2-xy-2yz-2zx)－答え

お礼

回答ありがとうございました！
返事が遅くなってしまい申し訳ないです…