数3の等比級数の問題です

質問

問題：鋭角Θをなす半直線OX、OY上にそれぞれ点列A1、A2、A3、・・・・・・、およびB1、B2、B3、・・・・・を次の条件（１）、（２）、（３）を満たすようにとる。
（１）　OA1＝OB1＝１
（２）　線分B1A2、B2A3、B3A4、・・・・・・・・、BnAn＋１、・・・・・・・・・はすべてOX上に垂直
（３）　線分A1B1、A2B2、A3B3、・・・・・・・・、AnBn、・・・・・・・・、は互いに平行
このとき△AnBnAn＋1の面積をSnとすると、Σ（n＝１から∞）＝１/３である。tanΘの値を求めよ。
丸一日考えましたが解けません。どなたかわかりやすく教えてください。

回答No.2

noname#232123 · ベストアンサー

S[1]=(1/2)*sinθ*(1-cosθ),
S[n] : S[n-1]=(A[n]B[n])^2 : (A[n-1]B[n-1])^2=(cosθ)^2 : 1.
ですから、S[n]=(cosθ)^2*S[n-1] となっています。0<cosθ<1 ですから、
S=Σ[n=1~∞]S[n]
=S[1]*1/{1-(cosθ)^2}.
S=1/3 より、
(1/2)*1/(1+cosθ)=1/3 すなわち、
13*(cosθ)^2+8*cosθ-5=0 ⇔ (13*cosθ-5)(cosθ+1)=0.
これから、cosθ=5/13.
このとき、tanθ=12/5.
となります。
-------------------
※省略したところはご自身で計算してください。
θ≒67.38度です。

お礼

問題解けました。有難うございました。感謝　感謝です。
こんな難問が解けるなんて本当にすごいと思います。
有難うございました。

補足

S[1]=(1/2)*sinθ*(1-cosθ),
S[n] : S[n-1]=(A[n]B[n])^2 : (A[n-1]B[n-1])^2=(cosθ)^2 : 1・・・★
ですから、S[n]=(cosθ)^2*S[n-1] となっています。0<cosθ<1 ですから、
S=Σ[n=1~∞]S[n]
=S[1]*1/{1-(cosθ)^2}
S=1/3 より、
(1/2)*1/(1+cosθ)=1/3…★ すなわち、
13*(cosθ)^2+8*cosθ-5=0 ⇔ (13*cosθ-5)(cosθ+1)=0.・・・★
これから、cosθ=5/13.
このとき、tanθ=12/5.

★印の箇所が分かりません。不勉強でお恥ずかしいのですが、教えていただけませんか。私が自力で解いた方法よりずっと簡単な方法なので驚きました。ぜひ教えてください。

回答No.1

asuncion

△AnBnAn+1は直角三角形で、∠AnBnAn+1はθ/2であることを
使うと、AnAn+1とAn+1Bnがわかるような気がします。

お礼

何とか問題が解けました。こんなスマートな解答が分かるなんてかなり数学ができるかただと思います。お忙しいにも関わらずご解答いただき有難うございました。
感謝いたしております。