ベクトルの問題で分らない?教えてください
- OA=3、OB=2の平行四辺形OACBの性質を解説します。
- OEとOFのベクトルをaとbを使って表します。
- 点Fを通るOEに垂直な直線とBCの交点Pのベクトルをaとbを使って表します。
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ベクトルの問題で分らないのがあるので教えてください
※a→は「aベクトル」という意味です。 OA=3、OB=2の平行四辺形OACBがあります。OAを3:1の比に外分する点をDとし、BDとACの交点をEとします。さらに、OEとABの交点をFとします。OA→=a→、OB→=b→とするとき、 (1)OE→、OF→をa→、b→を用いて表してください。(途中式もお願いします。) (2)∠AOB=60°のとき、点Fを通り、OEに垂直な直線とBCの交点をPとします。OP→をa→、b→を用いて表してください。(途中式もお願いします。) ちなみに答えは、 (1)OE→=a→+(b→/3)、OF→=(3a→/4)+(b→/4) (2)OP→=(17a→/40)+b→ です。
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>OA=3、OB=2の平行四辺形OACBがあります。OAを3:1の比に外分する点をDとし、 >BDとACの交点をEとします。さらに、OEとABの交点をFとします。OA→=a→、OB→=b→とするとき、 >(1)OE→、OF→をa→、b→を用いて表してください。(途中式もお願いします。) OD:AD=3:1なので、OD:OA=3:2より、OD=(3/2)OA=(3/2)a OC=OA+OB=a+b DE:EB=s:1-sとすると、 OE=(1-s)OD+sOB=(1-s)×(3/2)a+sb ……(1) AE:EC=t:1-tとすると、 OE=(1-t)OA+tOC=(1-t)a+t(a+b)=a+tb ……(2) (1)(2)より、係数比較すると、 (1-s)×(3/2)=1,s=t より、s=t=1/3 よって、OE=a+(1/3)b O,F,Eは一直線上にあるから、OF=kOEとおける。 OF=ka+(1/3)kb ……(3) AF:FB=u:1-uとすると、 OF=(1-u)a+ub ……(4) (3)(4)より、係数比較すると、 k=1-u,(1/3)k=uより、k=3/4,u=1/4 よって、OF=(3/4)a+(1/4)b >(2)∠AOB=60°のとき、点Fを通り、OEに垂直な直線とBCの交点をPとします。 >OP→をa→、b→を用いて表してください。(途中式もお願いします。) 内積a・b=|a||b|cos60°=3×2×(1/2)=3 BP:PC=m:1-mとすると、 OP=(1-m)OB+mOC=(1-m)b+m(a+b)=ma+b ……(5) FP=OP-OF=(ma+b)-{(3/4)a+(1/4)b} =(m-3/4)a+(3/4)b 角OFP=90度だから、OF・FP=0 OF・FP ={(3/4)a+(1/4)b}・{(m-3/4)a+(3/4)b} =(3/4)(m-3/4)|a|^2+(3/4)^2(a・b) +(1/4)(m-3/4)(a・b)+(1/4)(3/4)|b|^2 =(3/4)(m-3/4)×3^2+(3/4)^2×3+(1/4)(m-3/4)×3+(1/4)(3/4)×2^2 =(30/4)m+(51/16)=0 より、m=17/40 (5)に代入して、 よって、OP=(17/40)a+b 図を描いて、計算を確認して下さい。
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