位相について！

質問

これの5番の(1).(2)解ける人教えてください！！

回答No.2

tmpname

(2)については追加
fの連続性については、Tを固定した時、S上の実数値関数 gT(x) = g(x, T)が連続になることから従う。
gTの連続性については、 任意のx, y∈ Sを取った時、任意のt∈Tに対し、
三角不等式から d(x,t) ≦ d(y,t) + d(x,y)かつd(y,t)≦d(x,t) + d(x,y)となるから、|g(x, T) - g(y,T)| ≦ d(x,y)が成り立つので、gTの連続性が従う。

回答No.1

tmpname

[V]
(1) O_1 ⊃ O_2だから、逆の向きO_1 ⊂ O_2を示せば良い。これは、任意のT∈O_1に対し、T∈O_2を示せば良い。
T=φ, T=Sの場合は言うことはない。そうでないとき、T≠φかつ S-T≠φ
任意のx∈Tを取り、今固定する。
任意のy∈S-Tに対し、Sは O_2-Haussdorffだから、x∈V_xy, y∈ W_xy, V_xy∈O_2⊂O_1, W_xy∈O_2⊂O_1, V_xy∩W_xy=φ となるV_xy, W_xyがとれるので、選択公理を使ってそのようなV_xy, W_xyを選ぶ （繰り返し書いておくが、O_2⊂O_1に注意）。
今、{W_xy | y∈S-T}は、 S-TのO_1開被覆となっている。S-TはO_1-閉集合、SはO_1-compactなので、S-Tの有限部分集合A で、{W_xy|y∈ A}がS-TのO_1開被覆となるものがとれる。繰り返しになるが、∪_{y∈A} W_xy ⊃ S-T。この時B = ∩_{y∈A} V_xyは Aが有限集合だからO_2-開集合で（V_xyはO_2-開集合でもあった）、x∈B、かつB⊂Tである （B⊂Tであるのはなぜか？）

よって、任意のx∈Tに対し、O_2-開集合B_xで、x∈B_x、かつB⊂Tであるようなものがとれる。このようなB_xを、各々のx∈Tに対し選択公理をつかって選んでと、それらB_xの合併はO_2-開集合であるが、正に Tそのものとなる。よって言えた。

2) x∈S, T⊂S, T≠φに対し、 g(x, T) = inf{d(x,y) | y∈T} でgを定義する。
この時、まず g(x, T)=0 ⇔ x∈ cl(T) （ cl(T)は Tの閉包、つまり Tを含む閉集合の内最小のもの）であることを示せ。
その上で、 f(x,y) = g(x, A) / { g(x, A) + g(x, B)}が、所望の性質を満たす事を示せ。

一度解いてみて、分からないことがあれば補足にください。