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広義積分
damegakuseiの回答
- damegakusei
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(1)について、 原始関数Ｆ（ｘ）は Ｆ（ｘ）＝－２・（２－ｘ）＾（－１／２） なので、ｘ＝０は計算でき、 Ｆ（０）＝－√２ ですね。 で、ｘ＝２は定義できないので、 Ｆ（ｘ）→－∞ （ｘ→２－０） となりますね。 これより、 Ｆ（ａ）－Ｆ（０）→－∞（ａ→２－０） と言う事ではないですか？ (2)について、 被積分関数ｆ（ｘ）を部分分数分解すると、 ｆ（ｘ）＝{１／（１－ｘ）＋１／（１＋ｘ）}／２となりますね。 あとは１／（１－ｘ）の講義積分の話になります。 ｇ（ｘ）＝１／（１－ｘ） とすれば原始関数は Ｇ（ｘ）＝ｌｏｇ｜１－ｘ｜ なので Ｇ（０）は問題無いです。 ａ→－１ の時Ｇ（ａ）は・・・ 以下は省略します。 (3)については、 Ｆ（ｘ）＝ｘ＾（３／２）（１－ｌｏｇｘ） より Ｆ（１）－Ｆ（ａ）の（ａ→１－０）についての極限がどうなるか、と言う話に行き着きますね。 広義積分であるので有限個の不連続な点は許容されますので、いずれの問題も不連続な、つまり特異点での極限値が如何なるものか、が問題の示唆する所となっているのではないでしょうか？ (1)以外は敢えて極限は求めませんでした。 ご自身で解いてやって下さい。 ちなみに広義積分は ｆ（ｘ）をａ～ｂ（ｂ＞ａ）で積分する際にｘ＝ａ，ｂあるいはａとｂの間にあるｃ等について特異点が存在する時に用いられ、例えばａ，ｂが特異点である場合は Ｆ（ｂ－０）－Ｆ（ａ＋０） として、原始関数の極限を取り値を算出します。 ａ，ｂ間のｃが特異点の場合は Ｆ（ｂ）－Ｆ（ｃ＋０）＋Ｆ（ｃ－０）－Ｆ（ａ） とする訳です。 これらを踏まえてトライしてみてください。 ちなみに、私の計算が正確だと言う自信は無いので、ご自身で検算するなり、計算するなりする事をオススメします。
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