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整数問題（数学）
お世話になります。 以下の問題（大問の途中の式になります）について、なぜそうなるのかを教えて頂けないでしょうか。 「m,nは整数 m^2+mn+n^2=1のとき (m,n)=(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)のいずれかであるが・・・」 とあるのですが、どのようにして、このm,nの組合せが出てきたのか、どうしてもわかりません。 宜しくお願い致します。
- yassanmama
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m^2+mn+n^2=1から (m+n)^2=m^2+mn+n^2+mn=1+mn>=0 と (m-n)^2=m^2+mn+n^2-3mn=1-3mn>=0 が導けますから -1<=mn<=1/3 です。 これを満たす整数m，nは(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)と(1,-1),(-1,1)です。 あれ，答えが違いますね。
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- 178-tall
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m^2 + mn + n^2 = 1 ↓ n を与えたときの m 値は？ m = { -n ± √(n^2 - 4n^2 + 4) }/2 = { -n ± √(4 - 3n^2) }/2 m が実数値をとるのは 4 - 3n^2≧0 の範囲だろうから、整数に限定すると n^2 = 0 or 1 。 … ということラシイ。
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ご回答頂きありがとうございました。 お礼が遅れ、誠に申し訳ございませんでした。
- bgm38489
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m=1 n=-1 m^2+mn+n^2=1-1+1=1 はて？ m=-1 n=1 でも同じだね。 大門の途中とあるが、何か他にも条件があるはず。
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