区分求積法で球体の慣性モーメントを求める

質問

どうしたらよいですか?

<一様な球の情報>
半径1m、質量1kg、体積:4π/3、密度ρ:3/4π

添付画像は球を真横から見ている図です。私が考えたのは、球をy軸に沿ってN個にスライスし、N個の断片の慣性モーメントの合計を、区分求積法で近似させて求める方法です。

原点からk個目の断片を考える。

球体は真横から見ると直径が2mだから、1個の断片の幅は2 / N (m)。断片の断面の半径 r は、
r^2 + (2*k/N)^2 = 1 の関係があるから、移項して r^2 = 1 - (2*k/N)^2 となる。

k個目の断片の質量は、(断片の体積) * (密度)で、(3/(2*N)) * (1 - 4*k^2/N^2)=☆ と求まる。

(k個目の慣性モーメント) = ☆ * (2*k/N)^2 = 1/N * 6 * (k/N)^2 - 1/N * 24 * (k/N)^2 = ★

N-1
Σ ★ = 6 * ∫(0から1) x^2 dx - 24*∫(0から1) x^4 dx = -14/5 (←全体の慣性モーメント)
k=0

と導きましたが、解答が間違っています・・・。正答は 2 / 5 のようです。どこで間違えているのでしょうか??

回答No.5

tmpname · ベストアンサー

ああ、reloadし忘れた ...

> これは、k個目断片のx座標の範囲は
> -1≦ (2*k/N) ≦1
> で、Σ → ∫ の置き換えでは
> (k/N) = x
> として扱っているから、積分範囲は
> -1/2 ≦ (k/N) ≦ 1/2 すなわち、
> -1/2 ≦ x ≦ 1/2

そういうことです。

回答No.4

tmpname

kの範囲をもう一度確認してください。

今、y軸（だったですよね）に平行に、等間隔にN等分しているのですから、一つのスライスのy方向厚みは2/N。今、円盤（スライス）のy座標を (2/N)*kと置いていて、これが-1≦y≦1の範囲を動くのですから、

-1 ≦ (2/N)*k < 1 ⇒ -(1/2)N ≦ k < (1/2)N

ですね。-N ≦ k < N ではありません。 -1≦y≦1の範囲全体をN等分しているのですから、スライスの個数はyが正の領域にN/2個、負の領域にN/2個ですね。
k=Nの時、円盤のy座標は2になってしまいますね。

ですから、
> Σ [0≦k≦N-1] {(1/2) * (3/2) * (1/N) * ( 1-4k^2 / N^2)^2}
ではなく
Σ [-N/2 ≦ k ≦ N/2 -1] {(1/2) * (3/2) * (1/N) * ( 1-4k^2 / N^2)^2}
となって、
(3/4) * ∫(-1/2→1/2) (1-4*x^2)^2 dx です。ここで、更に (1-4*x^2)の上の2乗を忘れていますね。

もし、[0≦k≦N-1] としたいのなら、k番目の円盤（スライス）のy座標を (2/N)*k - 1としなければいけません。
その場合は
Σ [0≦k≦N-1]{(1/2) * (3/2) * (1/N) * { 1 - ((2k/N) - 1)^2 }^2
→ (3/4) * ∫ [0,1] {1 - (2x - 1)^2 }^2 dx = 2/5
となって、やはり正しい結果が得られます。

回答No.3

tmpname

> (k個目の慣性モーメント)=(k個目の質量)*(原点からk個目までの距離)^2
違います。この場合、k個目は一様円盤で、（円盤の）原点を対象に回転させていますから、

(k個目の慣性モーメント) = (1/2) * (k個目の質量) * （円盤の半径^2） = (1/2) * (3/2) * (1/N) * ( 1-4k^2 / N^2)^2

です。一様円盤の慣性モーメントは求めたことありますよね？
... 念のために書いておきますと、質量M、半径Rの一様円盤を、原点を通り、円盤に垂直な軸で回転させるときの円盤の慣性モーメントは、
＊円盤の面密度は、M/(πR^2)
＊軸から半径[ r, r+dr ]の範囲の面積は、2πr dr
＊従って、軸から半径[ r, r+dr ]の範囲の円盤がもつ慣性モーメントは、M/(πR^2) * 2πr dr * r^2
ですから、円盤の慣性モーメントは、
∫[0, R] M/(πR^2) * 2πr dr * r^2 = (1/2) * M * (R^2)
になりますね。

> その2については、-1≦x≦1 で良いですか？
違います。「k番目」のy座標が(2k/N)で、yは-1≦y≦1の範囲を動くのですから、 -(1/2)*(N) ≦ k ≦ (1/2)*Nとなるので、積分範囲は[-1/2, 1/2]です。

お礼

すいません、計算間違いでした。-1/2≦x≦1/2の区間で積分したところ、2/5と出ました。

ですが、やはり-1/2≦x≦1/2を積分区間にする理由がよく分かりません。

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違います。「k番目」のy座標が(2k/N)で、yは-1≦y≦1の範囲を動くのですから、 -(1/2)*(N) ≦ k ≦ (1/2)*Nとなるので、積分範囲は[-1/2, 1/2]です。
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これは、k個目断片のx座標の範囲は

-1≦ (2*k/N) ≦1

で、Σ → ∫ の置き換えでは

(k/N) = x

として扱っているから、積分範囲は

-1/2 ≦ (k/N) ≦ 1/2 すなわち、

-1/2 ≦ x ≦ 1/2

である、ということでしょうか？

補足

返信有り難うございます。
球を無限個にスライスしてできた、各ディスクの慣性モーメントを足していくようなイメージなのですね。

しかし、ディスクの慣性モーメントの式を利用して計算すると

N-1
Σ {(1/2) * (3/2) * (1/N) * ( 1-4k^2 / N^2)^2}
k=0

= (3/4) * ∫(-1/2→1/2) (1-4*x^2) dx = 1/2

となってしまいました。どこが違うのでしょうか・・・？

それと、積分範囲がなぜ(-1/2→1/2)なのかわかりません。球はx軸に垂直にスライスされていて、-1≦x≦1の範囲で断片がギッシリと詰まっているから、積分範囲が-1≦x≦1ではダメなのでしょうか？

回答No.2

tmpname

念のために補足しておきますが、「その1」については、数字の係数と「R」が指すところ、両方確認してください。

補足

その1については、

(k個目の慣性モーメント)=(k個目の質量)*(原点からk個目までの距離)^2

を使っているのですが、正しくは
(1-(2*k/N)^2) でしょうか？

k個目の円盤の慣性モーメント (m*r^2)/2 の使い方がわかりません。

その2については、-1≦x≦1 で良いですか？

回答No.1

tmpname

2箇所違います。

その1
一様円盤の慣性モーメントは、質量M、「円盤の」半径をRとしたとき (1/2) * M(R^2) です。『(k個目の慣性モーメント)』のところで掛けるべき値は、本当に(2*k/N)^2ですか？

その2
積分範囲は、本当に0から1までですか？
y軸に沿って、全体をN等分して、その「k番目」のy座標が(2k/N)となっていますが、kはどこからどこまで動きますか？