数学の問題です。

質問

190円の商品Aと290円商品Bをそれぞれいくつ買って、合計代金が丁度4500円にしたい。
それぞれいくつ買えばよいか？
という問題です。互除法を使うと片方が負の数になります。どうやってX,Y
を出せばよいですか？
宜しくお願いします。

回答No.3

staratras · ベストアンサー

No.1です。互除法を使って原則に忠実に解けば以下の通りです。
19x+29y=450 より互除法を使って
(計算略：使わなくても思い付くかもしれませんが…)
19×3－29×2=－1　つまり
19×(-3)＋29×2＝1　両辺を450倍して
19×(-1350)+29×900＝450
よって、（x,y）＝（-1350,900）が解のひとつで、
(x,y)＝(-1350+29t,900-19t)（tは任意の整数）が一般解
題意より、x>0　だから-1350+29t>0 より　t>46.55…
またy>0 だから900-19t>0 より　t<47.36…
この両方の不等式を満たすt=47を代入するとx=13,y=7
互除法は「伝家の宝刀」ですが、不定方程式の形や、求められている答え(ご質問では負でない整数解・両方買うとすれば正の整数解）次第では工夫の仕方もあるということです。

お礼

お忙しい時間に有難うございました。

回答No.2

178-tall

シナリオは、
　一つの解ペア → 一般解 → 非負ペアの有無
になる。

190x + 290y = 4500
　　　↓
19x + 29y = 450　　…(1)
　　　↓
19(x+y) + 10y = 450
として、一つの解ペア y=45, x+y=0 、つまり x=-45 を得る。

(1) の一般解は、
x = -45 + 29k
y = 45 - 19k
(k は任意整数)

非負ペアはあるか？
x = -45 + 29k≧0 → k≧1.56 …
y = 45 - 19k≧0 → k≦2.37 …
確かに k=2 にて、
x=13, y=7

お礼

有難うございました。

回答No.1

staratras

解法の一例です。
Aをx個、Bをy個それぞれ買うものとします。（x、yは正の整数)
190x+290y=4500
19x+29y=450 …(1)
両辺にx+yを加えると
20x+30y=450+x+y
上式の左辺は10の倍数だから、右辺も10の倍数なのでx+y=10n(nは正の整数）と置ける。
n=1:x+y=10のとき(1)を満たすx、yの正の解はない。
n=2:x+y=20のとき(1)に代入して解くと、x=13,y=7
n≧3のとき(1)を満たすx、yの正の解はない。

答え　A:13個、B：7個

お礼

有難うございました。