基本的な不等式

質問

kを求めよという問題で

k^2-4 ≧ 0　

私はk^2 ≧ 4 k ≧ ±2 と考えてしまいます。答えは k≧ 2, k≦-2 で　元の式を見ればそれが正しいのはよくわかります。

が、考え方がわかりません。２乗が付いているのでkを絶対値と考えればいいのかな？とも思うのですがそれもはっきりしません。

これがわからないので例えば k^2≦　5 の式も解く事が出来ません。

考え方を教えて頂けますか？

回答No.2

tmpname · ベストアンサー

基本的な考え方は、
ab≧0 ⇔ (a≧0かつb≧0)または（a≦0かつb≦0)
ab≦0 ⇔ (a≧0かつb≦0)または（a≦0かつb≧0)
というものです（これが基本です）。
上が何で成り立つかは、きちんと場合分けをして、
* a については、a>0, a=0, a<0
* bについては、 b>0, b=0, b<0
という場合を考え、a、bの場合分けの組み合わせ（全9通り）をきちんと調べれば分かる。

そうすると、
k^2-4 ≧ 0
⇔ (k+2) (k-2) ≧ 0
⇔ [ (k+2) ≧0 かつ (k-2)≧ 0 ] 又は [ (k+2) ≦0 かつ (k-2)≦ 0 ]
⇔ [ k≧-2かつk≧2] 又は [k≦-2 かつ k≦2]
⇔ k≧2又はk≦-2
となる。
グラフを使って考えるという手もありますが、上の「基本的な考え方」を頭に入れておくと、グラフが使えないような複雑な場合でも今回やったように丁寧に場合分けをすればいいだけ、というのが分かって、常に応用がききます。
あとは慣れるとわざわざ上のような式変形を冗長にやらなくても直観的に分けるようになりますが...

ついでにやっとくと、以下面倒くさいのでC=√5として、（C>0に注意）
k^2≦5
⇔ k^2 - C^5 ≦ 0
⇔ (k+C) (k-C)≦0
⇔[(k + C) ≧0かつ(k-C)≦0 又は [(k + C) ≦0かつ(K+C)≧0]
⇔[k≧-C かつ k≦ C] 又は [k≦-C かつ k≧ C]
⇔ -C ≦ k≦ C [注： k≦-C かつ k≧ Cとなることはない]

お礼

こんなに詳しく説明して頂き恐れ入ります。

こちらで質問させて頂く前に　wolframalpha　でグラフを確認したりしましたが答えに納得はいくのですが考え方がわかりませんでした。
この基本的は考え方を頭にいれておきます。
大変助かりました、有り難うございました。

回答No.1

catpow

>>私はk^2 ≧ 4 k ≧ ±2 と考えてしまいます

「Ｋを求めよ」という質問ですから、その答え方では回答になっていませんよ。
数学の問題というよりも、問題内容をつかめていないのが問題でしょう。

まあ、質問者さんの答えは数学的記述でも間違っていますが、それ以前に、日本語で記述されている問題が求めていることを理解するのが先だと思います。

お礼

おっしゃる通りです。
アドバイス有り難うございました。