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次の数学A(集合)の問題の解答解説をお願いします。
(バーの代わりに～を持ちいます) 全体集合Uとその部分集合A,Bについて, n(A∩B～)=18,n(A～⋃B)=23,n(A):n(B)=4:5 が成り立つとき次の値を求めよ。 (1)n(A∩B) (2)n(A～∩B～)
- sironekoudon
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A～をAの補集合U-Aとする B～をBの補集合U-Bとする n(A∩(B～))をA∩(B～)の濃度とする n(A∩(B～))=18 n((A～)∪B)=23 n(A):n(B)=4:5 と仮定する A∩(B～)⊂A A∩(B～)はAの部分集合だから 18=n(A∩(B～))≦n(A) Aの濃度はA∩(B～)の濃度18以上となる 18≦n(A) n(A):n(B)=4:5 だから n(B)=5{n(A)}/4≧5*18/4=22.5 n(B)≧22.5…(b) B⊂(A～)∪B Bは(A～)∪Bの部分集合だから n(B)≦n((A～)∪B)=23 Bの濃度は(A～)∪Bの濃度23以下となる n(B)≦23 これと(b)から 22.5≦n(B)≦23 n(A):n(B)=4:5 だから 18≦n(A)=4{n(B)}/5≦4*23/5=18.4 18≦n(A)≦18.4 22.5≦n(B)≦23 n(A)=18の時n(A)=22.5 n(B)=23の時n(A)=18.4 n(A),n(B)が同時に整数とならないから n(A),n(B)が同時に整数の時 n(A∩(B～))=18 n((A～)∪B)=23 n(A):n(B)=4:5 が成り立つ事はあり得ません (1) 18≦n(A)≦18.4 0≦n(A∩B)=n(A)-n(A∩(B～))≦18.4-18=0.4 0≦n(A∩B)≦0.4 (2) 22.5≦n(B)≦23 0≦n((A～)∩(B～))=n((A～)∪B)-n(B)≦23-22.5=0.5 0≦n((A～)∩(B～))≦0.5
お礼
よくわかりました。ありがとうございました。