記号の読み方と意味を教えてください

質問

こんにちは

ガウスの発散定理をベンキョーしてるのですが、∫（インテグラル）が2つ、3つ重なってる場合（∬など）それぞれの読み方と意味を教えてください。初めての投稿で上手く表示できてるか分かりませんが画像も添付しました

よろしくお願いします

回答No.2

noname#231195 · ベストアンサー

横から失礼します。

∬f(x,y)dxdy
というのは二重積分と言います。
関数f(x,y)をxとyで二重積分する、といえば通じます。
∬を何と読むかはしりません。ダブルインテグラルでも、インテグラル・インテグラルでも、インテグラルふたつ、でも適当に通じそうな言い方をすればいいんじゃないでしょうか。
大体、その記号についてのみ話すのでなければ、"インテグラル"なんて単語もまず出てきません。関数f(x)をxで積分する、と言われれば誰でも∫f(x)dxと書きます。

なお二重積分のことを面積分ということもあります。ある関数をxとyで積分することが、平面上すべての点に渡って積分することに対応するからです。
曲面の上での積分も二重積分の性質をすべて持っていますので、∬で書いた積分を二重積分と言ったり、面積分と言ったりします。

∫∫∫f(x,y,z)dxdydz
は三重積分と言います。
これは体積分とも言われます。ある関数をxとyとzで積分することが、空間の領域(つまり立体)の中のすべての点に渡って積分することに対応するからです。

四重積分、五重積分、・・・と変数のある数だけいくらでも重ねて積分できます。一般には重積分とか多重積分と言います。

>初めの行ではトリプルインテグラル（造語）が総電荷に対応してる。二つ目の行ではダブルインテグラルが総電荷に対応してる。この二つは明らかに意味が異なりますよね
意味が違うのはその通りで、ある領域について二重積分と三重積分の間にある決まった関係がある、というのがガウスの発散定理(あるいはガウス-オストログラツキィの法則)のポイントです。

それで、三重積分で計算しているのは総電荷ではありません。ある閉じた領域の中から"湧き出している"ベクトルの総和です。電場の話ならその与えられた領域から湧き出している電束の総量です。電場ではうまくイメージできなければ、閉じた領域の中から水が湧きだしているところを想像してもいいです。

閉じた領域から湧き出している電束なり水は、その領域を囲んでいる曲面を通って外に流れ出ます。
その曲面を通過した電束や水の量を計算しているのが、面積分の方の意味です。

ガウスの発散定理がいっているのは、閉じた領域から湧き出したものの量は、その領域を囲む曲面の通って流れ出るでた量に等しいということです。
まぁ、当然と言えば当然のことではあるですが・・・・

お礼

非常に詳しい回答をありがとうございます
面積分と体積分だったのですね(≧▽≦)！！
確かに言われてみれば、どうって事無い感じがします。今、無線の資格を取るためにベンキョーしてるのですが、高校の数学では習わなかったので質問させて頂きました

教科書の問題の式ですが、ほぼ完璧に納得できました(≧▽≦)！！

また、よろしくお願いします

回答No.1

O-ji-chan

全くの素人で、実は見たこともなかったのですが、
知恵袋でこんなのがありました。

外してましたら（ _ _ ）

参考URL：

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1417387194

お礼

回答をありがとうございます

初めの行ではトリプルインテグラル（造語）が総電荷に対応してる。二つ目の行ではダブルインテグラルが総電荷に対応してる。この二つは明らかに意味が異なりますよね…2次元、3次元と関係があるのかな…？