数III極限値よろしくお願いします。

質問

ｌｉｍ（ｘ→－∞）（ｘ-1）ｅ＾ｘなんですが、－∞*0の不定形になり、わからなくなりました。

（ｘ-1）と ｅ＾ｘの収束速度を考えると、０になるように思うのですが、どうやって示せばよいですか。
よろしくお願いします。

回答No.6

snnnmdr · ベストアンサー

No2です。補足に気づくのが遅れました。
もし、ロピタルの定理を使いたくないなら、はさみうちの原理をつかえばいいと思います。
十分に大きいｔにおいて
-(2)^t<-(t+1)<2^t
が成り立ちますね。これの全体をe^t (>0)で割ると、
-(2/e)^t<-(t+1)/e^t<(2/e)^t
になります。ここでe=2.718より
0<2/e<1
なので、t→∞のとき
(2/e)^t→0
が言えるので、はさみうちの原理より
（与式）→0
と言えますね

補足

できればロピタルを使わずに出来ると良いと思っていました。
はさみうちなら堂々と使えますね。
ご教授、感謝いたします。

回答No.5

f272

#3です。
解答欄が少ないなら収束速度の説明を書かなくても、いいくらいだと思う。
解答欄がいっぱいあるのなら、十分小さいx<0に対して1/x<(x-1)e^x<0であることを説明してから極限をとればよい。

お礼

了解しました、ありがとうございました。

回答No.4

info222_

No.1です。

ANo.2の補足の質問

ANo.1でロピタルの定理をつかっているので
そこは省略しただけでしょう。
lim(x→-∞) (x-1) exp(x)
=lim(t→∞) (-t-1) exp(-t)
=lim(t→∞) -(t+1)/exp(t)
-∞/∞型なのでロピタルの定理を適用できて
=lim(t→∞) -1/exp(t)
=-1/∞= -0
と0になる分けですね。

お礼

重ね重ねご回答、ありがとうございます。

回答No.3

f272

高校数学であれば，ロピタルの定理を考えるまでもなく「（ｘ-1）と ｅ＾ｘの収束速度を考えると、０になる」という考えで十分です。

お礼

ありがとうございました。

補足

収束速度の説明を書けば、式で示さなくてもよいですか？

回答No.2

snnnmdr

いったん、t=-xとおくと、わかりやすいですよ。そうすると
ｌｉｍ（ｔ→∞）（-ｔ-1）ｅ＾（-ｔ）＝ｌｉｍ（ｔ→∞）-（ｔ+1）/ｅ＾ｔ=0
になります

お礼

ありがとうございました。

補足

ｌｉｍ（ｔ→∞）-（ｔ+1）/ｅ＾ｔ=0 のところは、
-∞/∞の形になりますが、0として良いのでしょうか？

回答No.1

info222_

lim (x → -∞) (x-1)e^x
=lim (x → -∞) (x-1)/e^(-x)
ロピタルの定理を適用すると
=lim (x → -∞) 1/(- e^(-x))
=lim (x → -∞) - e^x
= - 0
となります。

お礼

ありがとうございました。

補足

関数が積の形だったのでロピタルを検討していませんでした。
ありがとうございます。