積分と微分の入れ替えの証明(複素関数)

質問

こんにちは。

Γをジョルダン閉曲線とし,f:A×B→C (A⊂C,Γ⊂B⊂C)はΓとその内部でzについて偏微分可能とする。
この時,d/dz∫_Γf(y,z)dy = ∫∂/∂z f(y,z)dy.
となる事を示せ。

を教えてください。

回答No.1

jcpmutura

Γ={y(x)|0≦x≦1,y(0)=y(1)}⊂C………(1)
B=Γ∪(Γの内部)
f:Γ×B→C
f_z(y,z)=(∂/∂z)f(y,z)………(2)
F(z)=∫_Γf(y,z)dy………(3)
G(z)=∫_Γf_z(y,z)dy………(4)
g:[0,1]×B→C
g(x,z)=f(y(x),z)y'(x)………(5)
自然数nに対して
F_n(z)=Σ_{k=0～n-1}g(k/n,z)/n………(6)
G_n(z)=Σ_{k=0～n-1}g_z(k/n,z)/n………(7)
とすると
(1),(3),(5)から
F(z)=∫_{0～1}g(x,z)dx………(8)
(1),(4),(5)から
G(z)=∫_{0～1}g_z(x,z)dx
[0,1]は有界閉集合でコンパクト
Bも有界閉集合でコンパクト
[0,1]×Bも有界閉集合でコンパクト
コンパクト距離空間からの連続写像は一様連続だから
g:[0,1]×B→C
は一様連続
g_z:[0,1]×B→C
も一様連続

gは一様連続だから
任意のε>0に対して
あるδ>0が存在して
|x-t|<δ
{x,t}⊂[0,1]
z∈B
となる任意のx,t,zに対して
→|g(x,z)-g(t,z)|<ε………(9)
となる
n_0>1/δとなる自然数n_0が存在して
n>n_0となる任意の自然数nに対して
(8)から
F(z)=Σ_{k=0～n-1}∫_{k/n～(k+1)/n}g(x,z)dx
↓平均値の定理からk/n≦ξ_k≦(k+1)/nとなるξ_kがあって
F(z)=Σ_{k=0～n-1}g(ξ_k,z)/n………(10)
k=0～n-1に対して
|ξ_k-k/n|≦1/n<1/n_0<δ
だから(9)から
→|g(ξ_k,z)-g(k/n,z)|<ε/3
だからこれと(6),(10)から
|F(z)-F_n(z)|≦Σ_{k=0～n-1}|g(ξ_k,z)-g(k/n,z)|/n<ε
だから
lim_{n→∞}F_n(z)=F(z)
は一様収束となる
同様に
g_zも一様連続だから
lim_{n→∞}G_n(z)=G(z)
も一様収束だから
任意のε>0に対して
自然数n_0が存在して
n>n_0となる任意のnとz∈Bに対して
|G(z)-G_n(z)|<ε………(11)
だから
|z-a|<1………(12)
{a→z}={z(t)|z(t)=(1-t)a+tz,0≦t≦1}⊂B
となるa,zに対して
|∫_{a→z}G_n(z)dz-∫_{a→z}G(z)dz|
=|∫_{a→z}{G_n(z)-G(z)}dz|
↓(11)から
<ε|z-a|
↓(12)から
<ε
だから
lim_{n→∞}∫_{a→z}G_n(z)dz=∫_{a→z}G(z)dz…(13)
となる

∫_{a→z}G_n(z)dz
↓(7)から
=∫_{a→z}{Σ_{k=0～n-1}g_z(k/n,z)/n}dz
=Σ_{k=0～n-1}∫_{a→z}g_z(k/n,z)dz/n
=Σ_{k=0～n-1}{g(k/n,z)-g(k/n,a)}dz/n
=Σ_{k=0～n-1}g(k/n,z)dz/n-Σ_{k=0～n-1}g(k/n,a)dz/n
↓(6)から
=F_n(z)-F_n(a)
だから
lim_{n→∞}∫_{a→z}G_n(z)dz
=lim_{n→∞}{F_n(z)-F_n(a)}
=lim_{n→∞}F_n(z)-lim_{n→∞}F_n(a)
=F(z)-F(a)
∴これと(13)から
F(z)-F(a)=∫_{a→z}G(z)dz
zに関して微分すれば
F'(z)=G(z)
∴これと(2),(3),(4)から
(d/dz)∫_Γf(y,z)dy=∫_Γ(∂/∂z)f(y,z)dy

補足

大変恐縮しております。
大切に拝読させて戴きたいと思います。