組分けの問題です。例えば、9枚の異なるカードを3枚

質問

組分けの問題です。例えば、9枚の異なるカードを3枚ずつの3組に分ける分け方は、「9C3×6C3/3!=280」という計算で出ると思うのですが、なぜ割るのでしょうか？
・組の区別がないから
というのはわかりますが、なぜ「引く」のではなく、「割る」のですか？余分な組合せができてしまうのならその分を引けばいいのでは？と思うのですが、そうではないということにはちゃんと理由があってのことだと思います。
解説をお願いしたいです。

回答No.2

staratras · ベストアンサー

説明の都合上、9枚のカードにAからIまでのアルファベットを付け、3つの組に1組から3組まで番号を付けます。

ここで3枚ずつの3組を以下の方法で作ったとします。
1.まず9枚の中から第1組の3枚を選ぶ…このやり方が9C3通り
2.次に残りの6枚から第2組の3枚を選ぶ…このやり方は6C3通り
　（残った3枚を第3組とする）

この選び方の総数は9C3×6C3でよいでしょうか？組を区別しないとすれば重複があるからダメですね。例えば（ABC）(DEF)（GHI）という分け方に対して、次の3！(＝6)通りが対応しています。

1組(ABC)、2組(DEF)、3組(GHI）
1組(ABC)、2組(GHI)、3組(DEF)
1組(DEF)、2組(ABC)、3組(GHI）
1組(DEF)、2組(GHI)、3組(ABC）
1組(GHI)、2組(ABC)、3組(DEF)
1組(GHI)、2組(DEF)、3組(ABC）

したがって、3！=6で割っているのです。
どうしても引き算でやりたいというのなら、それでも可能です。6つが重複しているのなら
一つを残して残りの5つを引けばよい、つまり全体から全体の5/6を引けばよいから

9C3×6C3‐9C3×6C3×5/6=9C3×6C3×1/6=280　結局同じ計算になるので、それなら6で割った方がわかりやすく、計算ミスの可能性も少なくなるのではないでしょうか。

お礼

ありがとうございました。なんとなくですがイメージはつかめたような気がします！

回答No.1

noname#222520

この質問の答えをx通りとすると、
9C3×6C3では、x×3!=6x通りになってしまうので、
「余分な組合せができてしまうのならその分を引けばいいのでは？」と考えるのであれば、
9C3×6C3-5x=xを満たすxを求めることになり、
結局は、6x=9C3×6C3→x=9C3×6C3/6=9C3×6C3/3!=280通りになります。

（別解）
質問からは外れますが、教科書や参考書にはあまり出てこないと思われる別解です。
なお、この解法では、重複を考えずに済みます。

9枚の異なるカードを便宜的に1～9とします。
1と同じ組に入るカード2枚の選び方は、1を除く残りの8枚から2枚を選ぶ選び方になるので、8C2=28通り
これによって、1～3が同じ組に入ることが確定したとすると、
4と同じ組に入るカード2枚の選び方は、4を除く残りの5枚から2枚を選ぶ選び方になるので、5C2=10通り
残りの1組は必然的に決まります。
よって、答えは28×10=280通り

お礼

そういうことだったのですね。別解の方もとても参考になりました。ありがとうございました！