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Max
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- 178-tall
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<-- ANo.1 「シナリオ」とはいえ、詰め、甘かった。 r=1 のケースを想定。 x*Y-X*y-y+Y = cosθ*sinφ - sinθ*cosφ - sinθ + sinφ = sin(φ-θ) - sinθ + sinφ = F(θ,φ) として、 ∂F/∂θ = -cos(φ-θ) - cosθ … (1) ∂F/∂φ = cos(φ-θ) + cosφ … (2) (1), (2) の零点では、 cos(φ-θ) = - cosθ → π±(φ-θ) = θ → π=2θ-φ OR π=φ … (1)' cos(φ-θ) = - cosφ → π±(φ-θ) = φ → π=θ OR π= 2φ-θ … (2)' このうち、max F を与えるのは、π=2θ-φ と π= 2φ-θ だった。 → θ= - π/3, φ= π/3 … みたいな調子で如何?
- info222_
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No.2です。 ANo.2の訂正 >fx=fy=0を満たす(s,t)が停留点ですから、停留点のいずれか の「fx=fy=0」は 「fs=∂f/∂s=0 かつ ft=∂f/∂t=0」 の誤りです。訂正します。 なお、 (1)の式の場合, f(s,t)は x=69cos(s), y=69sin(s), X=69cos(t), Y=69sin(t) (-π<s<=π, -π<t<=π) とおくと (1/2) (x*Y-X*y-69*y+69*Y) =(1/2)(69^2)(cos(s)sin(t)-cos(t)sin(s)-sin(s)+sin(t)) =f(s,t) となります。 fs=ft=0から停留点は (s,t)=(-π/3,π/3), (π/3,-π/3),(π,π) で 極大値はf(-π/3,π/3)(>0), 極小値はf(π/3,-π/3)(<0)となります。 f(π,π)=0は極値ではありません。 f(π,t)=0, f(s,π)=0 なので 極大値のf(-π/3,π/3)=(14283/4)√3 が求める最大値になります。 このときのx,y,X,Yは (x,y,X,Y)=(69/2,-(69/2)√3,69/2,(69/2)√3) となります。
- info222_
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>1/2 (x*Y-X*y-69*y+69*Y) の 最大値を お願い致します。 この式は ・(1/2) (x*Y-X*y-69*y+69*Y) ...(1) ・1/{2 (x*Y-X*y-69*y+69*Y) } ...(2) のどちらですか? x=69cos(s),y=69sin(s) (-π<s≦π) X=69cos(t),Y=69sin(t) (-π<t≦π) とおけば、 2変数関数f(s,t)の最大値を求める問題になります。 fx=fy=0を満たす(s,t)が停留点ですから、停留点のいずれか f(s,t) (-π<s≦π、-π<t≦π)は極大値をとります。 f(s,t)の極大値のうちの最大値と f(s,t)(s=π,-π<t≦π)の最大値と f(s,t)(t=π,-π<s≦π)の最大値 の3つを比較して最大のものが、 f(s,t)(-π<s≦π,-π<t≦π)の最大値となります。 もし、問題が(1)の場合なら s=-π/3, t=π/3 (x=69/2,y=-69√3/2,X=69/2, Y=69√3 /2のとき 最大値=14283√3 /4 となります。
- 178-tall
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シナリオだけ…。 制約条件を x^2+y^2=69^2 → x = r*cosθ, y = r*sinθ (r = 69) X^2+Y^2=69^2 → X = r*cosφ, Y = r*sinφ (r = 69) とみなし、 (1/2)*(x*Y-X*y-69*y+69*Y) の最大値を探る…。 そこで、 x*Y-X*y-69*y+69*Y = (r^2)*(cosθ*sinφ - sinθ*cosφ - sinθ + sinφ) = (r^2)*{ sin(φ-θ) - sinθ + sinφ } としてみると、たとえば θ=0, φ=π/2 にて最大。 … みたいな調子で如何?
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