この関数の微分を教えて下さい

質問

お世話になります。

添付ファイルに記載の問題において、dyl/dxlがどのようになるかを考えています。

回答No.2

jcpmutura

訂正します

x={x0,x1,…,x{m-1}}
μ=(1/m)Σ_{i=0～m-1}xi
σ^2=(1/m)Σ_{i=0～m-1}(xi-μ)^2
xk^=(xk-μ)(σ^2+ε)^{-1/2}
yl=γ・xl^+β
ε,γ,βは定数とする

∂μ/∂xl
=∂{(1/m)Σ_{i=0～m-1}xi}/∂xl
=(1/m)Σ_{i=0～m-1}∂xi/∂xl
=1/m

∂σ^2/∂xl
=∂{(1/m)Σ_{i=0～m-1}(xi-μ)^2}/∂xl
=(2/m)Σ_{i=0～m-1}(xi-μ)(∂x_i/∂xl-∂μ/∂xl)
=(2/m)Σ_{i=0～m-1}(xi-μ){∂x_i/∂xl-(1/m)}
=(2/m){xl-μ-(1/m)Σ_{i=0～m-1}(xi-μ)}
=(2/m){xl-μ-μ+μ}
=2(xl-μ)/m

∂[(σ^2+ε)^{-1/2}]/∂xl
=(-1/2)(σ^2+ε)^{-3/2}∂σ^2/∂xl
=-(xl-μ)(σ^2+ε)^{-3/2}/m

∂yl/∂xl
=∂(γ・xl^+β)/∂xl
=γ∂(xl^)/∂xl
=γ∂{(xl-μ)(σ^2+ε)^{-1/2}}/∂xl
=γ[(σ^2+ε)^{-1/2}∂(xl-μ)/∂xl+(xl-μ)∂[(σ^2+ε)^{-1/2}]/∂xl]
=γ[(σ^2+ε)^{-1/2}(1-∂μ/∂xl)+(xl-μ){-(xl-μ)(σ^2+ε)^{-3/2}/m}]
=γ[(σ^2+ε)^{-1/2}{1-(1/m)}-(xl-μ)^2(σ^2+ε)^{-3/2}/m]
=γ[(m-1)(σ^2+ε)^{-1/2}-(xl-μ)^2(σ^2+ε)^{-3/2}]/m
=γ[(m-1)(σ^2+ε)-(xl-μ)^2]/[m(σ^2+ε)^{3/2}]

回答No.1

jcpmutura

x={x0,x1,…,x{m-1}}
μ=(1/m)Σ_{i=0～m-1}xi
σ=(1/m)Σ_{i=0～m-1}(xi-μ)^2
xk^=(xk-μ)(σ^2+ε)^{-1/2}
yl=γ・xl^+β
ε,γ,βは定数とする

∂μ/∂xl
=∂{(1/m)Σ_{i=0～m-1}xi}/∂xl
=(1/m)Σ_{i=0～m-1}∂xi/∂xl
=1/m

∂σ/∂xl
=∂{(1/m)Σ_{i=0～m-1}(xi-μ)^2}/∂xl
=(2/m)Σ_{i=0～m-1}(xi-μ)(∂x_i/∂xl-∂μ/∂xl)
=(2/m)Σ_{i=0～m-1}(xi-μ){∂x_i/∂xl-(1/m)}
=(2/m){xl-μ-(1/m)Σ_{i=0～m-1}(xi-μ)}
=(2/m){xl-μ-μ+μ}
=2(xl-μ)/m

∂[(σ^2+ε)^{-1/2}]/∂xl
=-σ(σ^2+ε)^{-3/2}∂σ/∂xl
=-2σ(xl-μ)(σ^2+ε)^{-3/2}/m

∂yl/∂xl
=∂(γ・xl^+β)/∂xl
=γ∂(xl^)/∂xl
=γ∂{(xl-μ)(σ^2+ε)^{-1/2}}/∂xl
=γ[(σ^2+ε)^{-1/2}∂(xl-μ)/∂xl+(xl-μ)∂[(σ^2+ε)^{-1/2}]/∂xl]
=γ[(σ^2+ε)^{-1/2}(1-∂μ/∂xl)+(xl-μ){-2σ(xl-μ)(σ^2+ε)^{-3/2}/m}]
=γ[(σ^2+ε)^{-1/2}{1-(1/m)}-2σ(xl-μ)^2(σ^2+ε)^{-3/2}/m]
=γ[(m-1)(σ^2+ε)^{-1/2}-2σ(xl-μ)^2(σ^2+ε)^{-3/2}]/m
=γ[(m-1)(σ^2+ε)-2σ(xl-μ)^2]/[m(σ^2+ε)^{3/2}]

補足

ご回答ありがとうございます。
σ=(1/m)Σ_{i=0～m-1}(xi-μ)^2
と記載されていますが、正しくは、
σ^2=(1/m)Σ_{i=0～m-1}(xi-μ)^2
ではないですか?

また、∂σ/∂xlを求めていますが、∂σ^2/∂xlを直接考えた方が良いような気がしています。。。

もしよければ、上記を訂正してもう一度ご回答いただければ幸です。