逆三角関数の微分の問題

質問

y=Arc cos{(x+1)/√2} の導関数の求め方を教えてください。
途中式や考え方なども書いて貰えると有り難いです。
※写し間違いが有るかもしれないので問題文の画像も添付しておきます。

回答No.2

info33 · ベストアンサー

u=(x+1)/sqrt(2) と置くと, ( sqrt(2)=√2 )
2u^2=(x+1)^2,
d{arccos(u)}/du= -1/sqrt(1-u^2),

{arccos((x+1)/sqrt(2)}'=d{arccos(u)}/du*(du/dx)
=d{arccos(u)}/du*d{(x+1)/sqrt(2)}/dx
= -{1/sqrt(1-u^2)}*{1/sqrt(2)}
= -1/sqrt(2-2u^2)
= -1/sqrt(2-(x+1)^2)
= -1/sqrt(1-2x-x^2) ... (Ans.)

お礼

ありがとうございます！最初に文字に置き換えるので分かりやすかったです。

回答No.1

asuncion

y = arccos((x + 1)/√2)とする。
cos(y) = (x + 1)/√2 = tとする。
dt/dy = -sin(y), dt/dx = 1/√2より、dt = -sin(y)dy = dx/√2
dy/dx = -1/((√2)sin(y)) ... (1)
sin(y) = √(1 - cos^2(y)) = √(1 - t^2) = √(1 - (x^2 + 2x + 1)/2) = √(1/2)・(-x^2 - 2x + 1) ... (2)
(1)(2)より、(1)の分母 = √(-x^2 - 2x + 1)
∴dy/dx = -1/√(-x^2 - 2x + 1)

お礼

ありがとうございます！合成関数の微分法を使うといいんですね。