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基本的な漸化式
shushouの回答
＞高校数学は全然できない ようですので、基本的なことから書きます。 数の列を数列といいますが、たとえば次の数列を考えてみましょう。 (1) 1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,33,37,40,43,....... この数の列はある規則に従っているとします。 すると、43の次は何が来るか分かりますか？ 46,で、その次は49でしょうね。 ところで数列(1)の４個目の数字は10ですが、このことを 第４項目は10である と表現します。よって 第５項目は13である 第14項目は40である などといえますね。 でも、いちいちこんな風に書くのはメンドーなので 第４項目は10である、というのをA(4)=10 と書くようになったのです。 Aというのは数列(1)の名前だと思ってください。 Aという数列の第4項目だからA(4)とかく、という感じです。 だから、 第５項目は13であるというのはA(5)=13 第14項目は40であるというのはA(14)=40 と表現するわけです。ほかにも A(1)=1,A(10)=28,A(15)=43,A(16)=46 とかけますね。 さて、数列(1)の第100項目、すなわちA(100)を知りたいときは どうすればよいでしょう。 46,49,52,55,58,61,64,67,70,73,76,........ という風に100項目まで書いていくというのも、 確かに1つの方法です。でもこの方法だとたとえばA(2000)を求めることは はっきりいって絶望的ですよね。 A(100)だろうがA(2000)だろうがA(456321)だろうが たちどころに計算できてしまう夢のような式が欲しいと思いませんか。 そしてその夢のような式は(この場合は）意外と簡単にもとまって、 A(n)=3n-2 となります。 nに10を入れると A(10)=3×10-2=28 となって、第10項目が28だと分かります。 第100項目は A(100)=3×100-2=298 第2000項目は A(2000)=3×2000-2=5998 となります。 そして、この”夢のような式”のことを一般項と呼びます。 A(n)のことを一般項という、と思ってください。 （以上、私が高校生に数列を教えるときのやり方） さて本題。 A(n)というのは第n項目の数字を表しています。 だからA(n+1)というのは第n+1項目の数字を表しています。 ａn+1＝２・ａn－４ つまり A(n+1)=2An-4 というのは 第n+1項目と第n項目の間にはどんな関係があるのかを表した式ですね。 このような式を漸化式(ぜんかしき)とよびます。 数列(1)で漸化式を作ってみましょう。 数列(1)の特徴はどんどん3を足していることですね。 だから 第n+1項は第n項に3を足せば得られることになります。 よって、A(n+1)=A(n)+3 という式が成り立ちます。 では、ネズミの話。 n年目のネズミの数をA(n)とすると A(n+1)はn+1年目のネズミの数ですね。 n+1年目のネズミの数はどうなっているかを考えます。 n年目のネズミたちは皆、子を産むので、 ｎ+1年目のネズミの数はn年目のネズミの数の２倍になっています。 でも4匹死ぬので、結局 (n+1年目のネズミの数)=2×(n年目のネズミの数)-4 となります。よって、 A(n+1)=2A(n)-4 となります。
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とても丁寧に、１から教えてくださってありがとうございました。理解することができました。