実数

質問

（ア）
すべての実数ｘに対して
(x＾2 ＋x＋a)＾2 -(bx＋c)＾2=x＾4　＋2x＾3 -11x＾2 -28x-12が成り立つとき、a,b,cを求める。
ただしa,b,cは有理数とする

答a=2,b=±4,c=±4

(イ）
ｘ＾4 ＋2x＾3 -11x＾2 -28x-12=0を解く

答ｘ＝－２、－３、(3±√17)/2

よろしくおねがいします

この問題は恒等式を利用するそうですが、いろいろと試したのですが計算をすればするほど複雑な式になってどんどんわからなくなってしまいました。
おねがいします

回答No.6

springside · ベストアンサー

>>なぜ注：※１のところでは、x-[12の約数]
>>※２のところでは、x-[6の約数]
>>●約数と判断をなぜできたのですか？
>>コツがありましたらおしえてください。

コツも何もありません。単なるやり方です。
例えば、x^2+5x+6という式があり、これを因数分解したいとします。
因数分解した結果は、(x+a)(x+b)という形になりますが、(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+abとなり、これがx^2+5x+6と等しいのですから、ab=6となりますね。
ということは、「aとbは定数項6の約数」ということを意味しており、そういうa,bを使ってx^2+5x+6は(x+a)(x+b)に因数分解されるということになります。
つまり、x+aとかx+bを「見つける」に当たって、aやbの見当をつける際に、定数項の約数が候補になるということです。

>>それから、(8)を解くと、d=(9±√17)/2となるが、bは有理数であり、したがってdも有理数なので、これは不適。
>>でbは有理数であり、したがってdも有理数だと不適といえるのですか？

まず、問題に「bは有理数」という条件が付いています。すると、d=b^2ですから、「bが有理数」であれば、dも（自動的に）有理数になります（なぜならば、有理数の２乗は有理数だから。）。しかし、(9±√17)/2は有理数ではないので、d=(9±√17)/2になることはないわけです。よって、d=(9±√17)/2という答えは不適ということです。

以上のようなことは学校の授業で教わる非常に基礎的な範囲に属する内容ですが、習いませんでしたか？
こういった内容は、考えなくても自動的に（無意識的に）頭に浮かんでくるように、頑張って勉強してください。

回答No.5

noname#231526

（イ）の方は、（ア）を応用します。
a=2 b=4 c=4 を代入すると（ア）の恒等式が成り立つわけですから、
（イ）は
(x^2+x+2)^2 - (4x+4)^2 = 0
と変形され、a^2 - b^2 =(a+b)(a-b)を用いて
(x^2+x+2+4x+4)(x^2+x+2-4x-4)=0
(x^2+5x+6)=0 または (x^2-3x-2)=0 と
xの２次式に落ちついて、解が求まります。

回答No.4

springside

No.4のspingsideです。

>>独学で数学を学んでいるのである参考書を買って勉強しています。
>>答しか載っていなくてちゃんと答は出しています。
>>解き方がわからなくて。

とありますが、それならば、なぜ解き方がちゃんと載っている参考書を買わないのですか。ここで聞くより早く解決しますよ。

補足

大検を早く受けたいので。
すいません

回答No.3

springside

両方ともどんどん計算していくだけの問題ですが、慣れていないとちょっと難しいかも知れません。

（ア）
左辺=(x^2＋x＋a)^2-(bx＋c)^2
=x^4+x^2+a^2+2x^3+2ax+2ax^2-(b^2x^2+2bcx+c^2)
=x^4+2x^3+(1+2a-b^2)x^2+(2a-2bc)x+a^2-c^2

これが、x^4＋2x^3-11x^2-28x-12と等しいから、
x^2の係数を比較して、1+2a-b^2=-11・・・(1)
xの係数を比較して、2a-2bc=-28・・・(2)
定数項を比較して、a^2-c^2=-12・・・(3)
（注：ここからは、a,b,cのうちの２文字を消去して、１文字だけの式を作るように工夫します。）

(1)より、a=(1/2)b-6・・・(4)
(2)より、c=(1/2)b+8/b・・・(5)
（注：もしb=0とすると、(1)よりa=-6となるが、これは(2)を満たさないので、b≠0である。だからbで割ってもよい。）

(4)、(5)を(3)に代入すると、
{(1/2)b-6}^2-{(1/2)b+8/b}^2=-12
これを展開して整理すると、
b^4-25b^2+160-256/b^2=0
となる。
両辺にb^2を掛けて、
b^6-25b^4+160b^2-256=0
ここで、b^2=dと置くと、
d^3-25d^2+160d-256=0・・・(6)
となる。

(6)の左辺を因数分解するため、d-16で割ると、［※］
(d-16)(d^2-9d+16)=0
となる。
よって、
d-16=0・・・(7)　又は
d^2-9d+16=0・・・(8)
である。

(8)を解くと、d=(9±√17)/2となるが、bは有理数であり、したがってdも有理数なので、これは不適。
よって、(7)よりd=16である。
つまり、b^2=16なので、b=±4である。
これを(4)、(5)に代入してaとcを求めると、
a=2, b=±4, c=±4（複号同順）である。・・・答

注：※の部分で、d-16で割っていますが、d-(定数項の約数)で割れるはずなので、d-1, d-2, d-4, d-16などで割ってみたところ、d-16で割ったらうまくいったということです。３次以上の方程式では、こういうふうにいろいろ試行錯誤してみるしかありません（３次、４次の方程式には解の公式がありますが、なかなか複雑でとても覚えられませんので。）。

（イ）
ｘ^4＋2x^3-11x^2-28x-12=0・・・(1)
(1)の左辺をx+2で割ると、［※１］
ｘ^4＋2x^3-11x^2-28x-12=(x+2)(x^3-11x-6)
となり、x^3-11x-6をx+3で割ると、［※２］
x^3-11x-6=(x+3)(x^2-3x-2)となるので、(1)は、
(x+2)(x+3)(x^2-3x-2)=0
となる。
x^2-3x-2=0の解は、x=(3±√17)/2なので、(1)の解は、
x=-2, -3, (3±√17)/2である。・・・答

注：※１のところでは、x-[12の約数]でいろいろ割ってみたらx+2で割り切れたということです。
※２のところでは、x-[6の約数]でいろいろ割ってみたらx+2で割り切れたということです。
３次以上の方程式では、こういうふうにいろいろ試行錯誤してみるしかありません（３次、４次の方程式には解の公式がありますが、なかなか複雑でとても覚えられませんので。）。

補足

とても親切な説明ありがとうございます。

なぜ注：※１のところでは、x-[12の約数]
※２のところでは、x-[6の約数]
●約数と判断をなぜできたのですか？
コツがありましたらおしえてください。

それから、(8)を解くと、d=(9±√17)/2となるが、bは有理数であり、したがってdも有理数なので、これは不適。
でbは有理数であり、したがってdも有理数だと不適といえるのですか？
もしよろしければ例題などを添えて教えていただけませんか？

回答No.2

itochanda

（ア）は、左側をどんどん展開して、ｘの式として（右と同じように）まとめてください。

両側のｘの係数を比較します。
３つの連立方程式が立つはずです。
（x^3の係数は１のため、x^2と、x^1の係数と定数項）
これでａ，ｂ，ｃが求まります。

補足

左辺を展開して
x＾4 ＋2x＾3 ＋(2a-b＾2)x＾2 ＋(2a-2bc)x＋a＾2-c＾2

となって
2a-ｂ＾2=-11

2a-2bc=-28

a＾2- ｃ＾2=－１２となったのですが
どのように連立方程式をすればわかりません

回答No.1

tokitarou2003

(イ）に関してはたすきがけをしてください。3次関数や4次関数は最後の数字の公約数をいれて入って０になる数字でたすきがけしてください。（ア）にかんしては左右対称となるようにすればいいです。左を展開して右と同じすうじになるようにしてください

参考URL：

http://club.pep.ne.jp/~asuzui/page37.htm