積分の問題について

質問

画像の問題なんですが、丸がついている番号の問題がどうしてもわからないので教えてくださると助かります。8においては答えと合わなくて2時間ぐらい無駄にしました（泣）

回答No.2

info222_ · ベストアンサー

画像が不鮮明で、xの何乗かよく見えません。また８の問題文の一部が白くなっていて文字がが見えません。
出来れば、問題文を手打ち入力してください。

また、問題を解いたのであれば、書いてください。

７
f(x)=∫ [1, x ] (t-1)(t-2) dt=∫ [1, x ] (t^2-3t+2) dt=[t^3/3-3 t^2/2+2t] [1, x]
=(1/3) x^3-(3/2) x^2 +2x-1/3+(3/2)-2
=(1/3) x^3-(3/2) x^2+2x-(5/6) ... (答)

８
y=x^2-5=0 → x=±√5
S1=∫ [-3, 3] x^2-5 || dx=∫ [-3, -√5] (x^2-5) dx=[x^3/3-5x] [-3, -√5]
=-5√5/3+5√5+9-15=-6+(10/3)√5

S2=∫ [-√5, √5] (5-x^2 ) dx=[5x-x^3/3] [-√5, √5]
= 10√5-10√5/3=(20/3)√5

S3=∫ [√5 , 3] (x^2-5) dx=[x^3/3-5x] [√5 , 3]
=9-15-5√5/3+5√5=-6+(10/3)√5

なお、
Ｓ＝S1+S2+S3=-12+(20/3)√5+(20/3)√5=(40/3)√5 -12

9
(1)
y=x^2-3x=0 → x=0, 3
y=x^2-3x=4 → (x-4)(x+1)=0 → x=-1, 4
積分範囲を[-1,0], [0, 3], [3,4]に分割する。
S=∫ [-1, 0] (4-(x^2-3x)) dx+∫ [0, 3] 4 dx+ ∫ [3, 4] (4-(x^2-3x)) dx
=[4x-x^3/3+3x^2/2] [-1, 0]+[4x] [0, 3]+[4x-x^3/3+3x^2/2] [3, 4]
=(4-1/3-3/2)+12+(4-64/3+9+24-27/2)
=13/6+12+13/6=85/6 ... (答)

(2)
グラフを二直線と放物線とで囲まれる領域は2箇所存在します。
なので問題として不備です。

上の方の領域の面積であれば
Ｓ＝∫ [0, 2] (2x-(-x)) dx+∫ [2,5] (2x-(x^2-3x))dx
=∫ [0, 2] 3x dx+∫ [2,5] (5x-x^2))dx
＝[3x^2/2] [0, 2] +[5x^2/2-x^3/3] [2, 5]
=6+(125-20)/2-(125-8)/3
=6+105/2-39=39/2 ... (答)

下側の面積なら
S=∫ [0, 2] (-x-(x^2-3x)) dx=∫ [0, 2] (2x-x^2) dx
=[x^2-x^3/3] [0, 2]
=4-8/3=4/3 ... (答)

回答No.1

jcpmutura

7)
f(x)=∫_{1～x}(t-1)(t-2)dt
(t-1)(t-2)の不定積分を
F(t)=∫(t-1)(t-2)dt
とする
f(x)=F(x)-F(1)
F'(t)=(t-1)(t-2)
f'(x)=F'(x)=(x-1)(x-2)
x<1の時f'(x)>0だからf(x)は増加
1<x<2の時f'(x)<0だからf(x)は減少
x>2の時f'(x)>0だからf(x)は増加
だから
x=1でf(x)は極大となる
極大値は
f(1)
=F(1)-F(1)
=0

8)
放物線
y=x^2-5
とx軸
y=0
および2直線
x=-3
,
x=3
で囲まれた3つの部分の面積の合計をSとすると
S=∫_{-3～3}|x^2-5|dx
-√5<x<√5の時x^2-5<0
だから-√5<x<√5の部分の面積をS1とすると
S1=∫_{-√5～√5}(5-x^2)dx
√5<x<3の時x^2-5>0
だから√5<x<3の部分の面積をS2とすると
S2=∫_{√5～3}(x^2-5)dx
-3<x<-√5の時x^2-5>0
だから-3<x<-√5の部分の面積をS3とすると
S3=∫_{-3～-√5}(x^2-5)dx=S2

S1=2∫_{0～√5}(5-x^2)dx
S1=2[5x-x^3/3]_{0～√5}
S1=2(5√5-5√5/3)
S1=2(5√5)(1-1/3)
S1=2(5√5)(2/3)
S1=(20√5)/3

S2=∫_{√5～3}(x^2-5)dx
S2=[x^3/3-5x]_{√5～3}
S2=[9-15]-[5√5/3-5√5]
S2=(-6)+(5√5)(2/3)
S2={(10√5)/3}-6

S=S1+S2+S3
S=S1+2S2
S=(20√5)/3+2[{(10√5)/3}-6]
S={(40√5)/3}-12
S={(40√5)-36}/3

9)
(1)
y=x^2-3xとy=0の交点のx座標は
x^2-3x=x(x-3)=0
x=0又はx=3

y=x^2-3xとy=4の交点のx座標は
x^2-3x=4
x^2-3x-4=0
(x-4)(x+1)=0
x=-1又はx=4

x<-1の時
0<4<x^2-3x
-1<x<0の時
0<x^2-3x<4
0<x<3の時
x^2-3x<0<4
3<x<4の時
0<x^2-3x<4
x>4の時
0<4<x^2-3x
だから
y=x^2-3xとy=0,y=4で囲まれた部分の面積をSとすると
S=∫_{-1～0}(4-x^2+3x)dx+4∫_{0～3}dx+∫_{3～4}(4-x^2+3x)dx
S=12+2∫_{-1～0}(4-x^2+3x)dx
S=12+2[4x-x^3/3+3x^2/2]_{-1～0}
S=12+2[4-1/3-3/2]
S=12+8-2/3-3
S=17-2/3
S=49/3

(2)
y=x^2-3xとy=2xの交点のx座標は
x^2-3x=2x
x^2-5x=0
x(x-5)=0
x=0又はx=5

y=x^2-3xとy=-xの交点のx座標は
x^2-3x=-x
x^2-2x=0
x(x-2)=0
x=0又はx=2

x<0の時
2x<-x<x^2-3x
0<x<2の時
x^2-3x<-x<2x
2<x<5の時
-x<x^2-3x<2x
x>5の時
-x<2x<x^2-3x
だから
y=x^2-3xとy=2x,y=-xで囲まれた部分の面積をSとすると
S=∫_{0～2}3xdx+∫_{2～5}(5x-x^2)dx
S=3[x^2/2]_{0～2}+[5x^2/2-x^3/3]_{2～5}
S=6+[125/2-125/3]-[10-8/3]
S=6+[125(1/2-1/3)]-[(30-8)/3}
S=6+[125/6]-[22/3]
S=6+[(125-44)/6]
S=6+(81/6)
S=6+(27/2)
S=39/2

お礼

本当にありがとうございます！
感謝いたします！