- みんなの回答 (4)
- 専門家の回答
関連するQ&A
- 複素積分を使わずに解ける
複素関数の勉強をしていて、疑問に思ったことがあります。 次の定積分を求めよ、という問題です。 ∫(from 0 to ∞)exp(-x^2) cos2bx dx (bは定数) この問題は、複素平面上の長方形状の積分路に沿って積分して答えが出せたのですが、以下のようなやり方をしてみました。 まず、求める積分はbの関数とみなせるので、I(b)とおきます。 次にI(b)をbで微分します。被積分関数をbで偏微分し、部分積分を使うと、 dI(b)/db = -2bI(b) となります。これはbの微分方程式になっているので、これを解くと、 I(b) = Aexp(-b^2) (Aは定数) となります。元の式にb=0を代入すれば、 I(0) = sqrt(π)/2 となるので、 I(b) = sqrt(π)exp(-b^2)/2 という結果になります。 なんだか複素積分をするよりも簡単に答えが出せたのですが、このやり方でもよいのでしょうか。参考書にはこの方法が載っていなかったのですが。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 複素積分
I1=∫[-∞,-∞]cos(a*x)/(x^2+b^2)dxを複素積分を使って求めます。 まず ∫[-∞,-∞]cos(a*x)/(x^2+b^2)dxの被積分関数の分子にi*sin(a*x)を (iは虚数単位)を加えても加えた部分が奇関数でかわらないので加え ると ∫[-∞,-∞]{cos(a*x)+i*sin(a*x)}/(x^2+b^2)dxとなります するとI=∫[-∞,-∞]exp(i*a*x)/(x^2+b^2)dxです。 ここで複素積分 I=∫exp(i*a*z)/(z^2+b^2)dz (積分路は実軸と虚軸の正の部分を通る 反時計回りの半径Rの半円) またI2=∫exp(i*a*z)/(z^2+b^2)dz (積分路は虚軸の正の部分のみを通 る反時計回りの半径Rの半円)を考えるとRが十分大きいとき I=I1+I2・・・(1)になります。 Iは留数定理よりI=2*π*i*Res[f,i*b]=π*exp(-a*b)/b・・・(2) I2はz=R*exp(i*θ)とおき I2=∫[0,π]exp(i*a*R*exp(i*θ))/(R*exp(i*θ)^2+b^2)dθ =∫[0,π]exp(-a*R*sinθ+)*exp(i*a*R*cosθ)*i*R*exp(i*θ)/(R^2*exp (2*i*θ)+b^2)dθ 三角不等式より 0<|I2|<∫[0,π]|exp(-a*R*sinθ+)*exp(i*a*R*cosθ)*i*R*exp(i*θ)|/|(R^2*exp(2*i*θ)+b^2)|dθ<π*R*exp(-a*R*sinθ)/|-R^2+b^2|・・・(3) ここでsinθ >0よりでexp(-a*R*sinθ)<1なので π*R*exp(-a*R*sinθ)/|-R^2+b^2|<π*R/|-R^2+b^2|となり π*R/|-R^2+b^2|はR-->∞で0なので結局 |I2|-->0 なので(1)より I1=π*exp(-a*b)/bが答えです。 これはわかるのですが、スタートで i*sin(a*x)ではなく-i*sin(a*x)を加えても変わらないですよね? そこで-i*sin(a*x)を加えて実際にやってみると (2)の部分はπ*exp(a*b)/bに変わってしまい、また (3)の部分はπ*R*exp(a*R*sinθ)/|-R^2+b^2|となってしまいこれでは R-->∞で発散するように思えます。 どこがまちがっているのでしょうか
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 複素関数の積分
ζ(t)を実数変数tの複素関数とする。 ∫[a→b] ζ(t)dtは複素数となるので、 ∫[a→b] ζ(t)dt = | ∫[a→b] ζ(t)dt |*e^(iθ)と変形することができる。 この式の両辺にe^(-iθ)を掛けて、ζ(t)=|ζ(t)|*e^(iφ)とおくと、 右辺=| ∫[a→b] ζ(t)dt |, 左辺=e^(-iθ) ∫[a→b] ζ(t)dt=∫[a→b] e^{i(φ-θ)} |ζ(t)| dtとなる。 右辺| ∫[a→b] ζ(t)dt |については、複素数∫[a→b] ζ(t)dt の絶対値をとっているので実数になる。 この左辺のe^{i(φ-θ)} についてオイラーの公式より、e^{i(φ-θ)} =cos(φ-θ)+isin(φ-θ)となるが、右辺| ∫[a→b] ζ(t)dt |が実数となるので、isin(φ-θ)の項は消える。 したがって、| ∫[a→b] ζ(t)dt |=∫[a→b] cos(φ-θ) |ζ(t)| dtとなり、cos(φ-θ)≦1であることから、 | ∫[a→b] ζ(t)dt |=∫[a→b] cos(φ-θ) |ζ(t)| dt≦∫[a→b] |ζ(t)| dt、| ∫[a→b] ζ(t)dt |≦∫[a→b] |ζ(t)| dtが導ける。 ※質問です。『この左辺のe^{i(φ-θ)} についてオイラーの公式より、e^{i(φ-θ)} =cos(φ-θ)+isin(φ-θ)となるが、右辺が実数となるので、isin(φ-θ)の項は消える。』というところで、isin(φ-θ)が消えるということは、sin(φ-θ)=0になると思うのですが、この考え方は正しいのでしょうか? そうなると(φ-θ)は..,-π,0,π,2π..に限定され、cos(φ-θ)の値も同様にcos(2nπ)=1、あるいはcos(2n-1)π= -1 [n=整数]の2つに絞られるはずです。そして、| ∫[a→b] ζ(t)dt |=∫[a→b] cos(φ-θ) |ζ(t)| dtの式は、 | ∫[a→b] ζ(t)dt |=∫[a→b] |ζ(t)| dt [(φ-θ)=2nπ] | ∫[a→b] ζ(t)dt |= (-1)* ∫[a→b] |ζ(t)| dt [(φ-θ)=(2n-1)π] の2組以外には考えられないはずですので、なぜcos(φ-θ)≦1であることを持ち出し、 | ∫[a→b] ζ(t)dt |=∫[a→b] cos(φ-θ) |ζ(t)| dt≦∫[a→b] |ζ(t)| dtと変形しているのかが分かりません。 詳しい方教えてください。 お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 複素積分の初歩的な問題の解き方について
教科書からの問題ですが答えが省略されているのでわかりません。 問、C={z||z|=1}とするとき、次の積分の値を求めよ。 (1), ∫[径路;C](z-2)dz (2), ∫[径路;C](z-2)|dz| の2問です。 答え、 題意|z|=1より Cは原点を中心とした半径1の円周上である。 (1), z=rexp^(iθ) とおき θをパラメータとする。 ∴dz=irexp^(iθ)*dθ ここで r=1 ∴∫[径路;C](z-2)dz=∫[θ;0→2π]{exp^(iθ)-2}iexp^(iθ)*dθ=i∫[θ;0→2π]exp^(i2θ)*dθ-2i∫[θ;0→2π]exp^(iθ)*dθ=0 (2), z=rexp^(iθ) ∴z=r(cosθ+isinθ) ここで r=1 ∴dz=(-sinθ+icosθ)dθ ∴|dz|=√{(-sinθ)^2+(cosθ)^2}dθ=dθ ∴∫[径路;C](z-2)|dz|=∫[θ;0→2π]{exp^(iθ)-2}dθ =∫[θ;0→2π]exp^(iθ)*dθ-∫[θ;0→2π]2*dθ=4π 以上私のやり方と答えでよいのでしょうか? それと、式中の絶対値符号の間隔をもっと狭く表示する方法が分かりません。なにか特別な方法があるのでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 複素積分の問題について。
複素積分の問題を解いてみたのですが、手元に答えがないうえに合っているか自信がないので、チェックしていただけると助かります。解法に誤りがあったらどうぞ指摘してください。自分の中では、留数の求め方が怪しいです。 以下、積分の経路Cは原点中心半径8の円で正の向きとします。 (1)∫ 1/sin(z) dz (2)∫ 1/(1-cos(z)) dz (3)∫ (1+z)/(1-e^z) dz (4)∫ tan(z) dz (1)∫ 1/sin(z) dz f(z)=1/sin(z) について、f(z) は z=mπ で特異点をとり、特にCの内部では z=0,±π,±2π が特異点となる。 ここで各点における留数を求めると、 Res(0)=1 Res(π)=-1 Res(-π)=-1 Res(2π)=1 Res(-2π)=1 となるので、 ∫ 1/sin(z) dz=2πi(1-1-1+1+1)=2πi (2)∫ 1/(1-cos(z)) dz f(z)=1/(1-cos(z)) について、f(z) は cos(z)=1、つまり z=2mπ で特異点をとり、特にCの内部では z=0,±2π が特異点となる。ここで f(z) を z=0 のまわりで展開すると、 f(z)=1/(1-1/2(z^2)+1/24(z^4)-・・・) =1/(1/2(z^2)-1/24(z^4)+・・・) であることから、Res(0)=0 同様に、Res(π)=0,Res(-π)=0 なので、 ∫1/(1-cos(z)) dz=2πi・0=0 (3)∫ (1+z)/(1-e^z) dz f(z)=(1+z)/(1-e^z) について、f(z) は z=2πim(mは整数)で特異点をとり、とくにCの内部では z=0,±2πi で特異点となる。ここで、 Res(0)=-1 Res(2πi)=-1-2πi Res(-2πi)=-1+2πi となるので、 ∫(1+z)/(1-e^z) dz=2πi(-1-1-2πi-1+2πi)=-6πi (4)∫ tan(z) dz f(z)=tan(z)=sin(z)/cos(z) について、f(z) は z=(2m+1)π/2 で特異点をとり、特にCの内部では z=±π/2、±3π/2,±5π/2 で特異点となる。ここで、 Res(±π/2)=-1 Res(±3π/2)=-1 Res(±5π/2)=-1 となるので、 ∫tan(z) dz=2πi・(-6)=-12πi
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 複素積分
複素積分の問題です。 ∫z*cos(z)dz 積分路:|z-i/2|=1/2のRez≦0の部分をiから0の向き z(t)=1/2cos(t)+(1/2)*i*(sin(t)+1/2)、t∈[π/2,3π/2]で変換して z(t)=(e^it)/2+i/4として代入してみると ∫{(e^it)/2+i/4}cos{(e^it)+i/4}*{i(e^it)/2}dt 積分範囲はt:π/2→3π/2 となりました。 この積分の計算がなかなかうまくいかず行き詰ってしまって困っています。 そもそも方針は合っているのでしょうか…? どなたかわかる方おられましたら回答お願いいたします。
- 締切済み
- 数学・算数
- この複素の問題の解き方を教えていただきたいです
次の問題の解き方と解答を教えてください。 下の複素数を極形式にし、ドモアブルの定理を使ってa+biの形にする問題です。 問. (1-√3i/1+√3i)^2014 よろしくお願いします
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
ありがとうございます