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無限級数の掛け算のやり方
添付画像の数式の右辺を展開する方法が分かりません。 同じ質問を以前にこちらに投稿しましたが、 どなたもどのような手順で数式展開をすることが可能であるかについては 回答を避けて通っておられたため この数式が本当に正確であるかを確認することができずにいます。 一意的に素因数分解がなされる、という意見が前回ありましたが 素因数分解が可能であるのならば どのような素因数が登場するのかを教えていただきたいと思います。 無限級数を無限回数の掛け算するということは 常識では到底、行なうことが不可能ですので 数学の専門家からのご指導をお願いします。
- mqm
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回答No.3 の者です。補足への返信が難しかったので、回答にてお返事いたします。数式が読みづらかったとのこと、失礼いたしました。 参考URLのページに、取り急ぎ今回の回答をコピーした記事を作成しました。こちらなら、読みやすいかと思います。ご覧いただけると幸いです。 質問者様の御指摘のとおり、今回の補足についてはニーズがありそうですので、また時間があるときに、私のメインのブログの方にも改めて補足記事を書きたいと思っております。
その他の回答 (3)
- tsujimotter
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問題となっている記事の作者です。私の説明がわかりづらかったようで申しわけありません。 まず、１点ご指摘したいのは、質問者様の画像の式は、左辺が発散してしまいますので、等式は成り立ちません。私の添付画像の（式１）のように、すべての項に "s" 乗をした上で s の範囲を s > 1 としてください。この範囲であれば、収束して左辺は値を持ちます。 もう１点。今回の式は、左辺から右辺を導こうとすると「式の因数分解」の問題になって厄介です。逆に、右辺から左辺を導くのであれば「式の展開」で済みますので、こちらの方針で行こうと思います。 その上で、より丁寧に説明させていただきます。 ＊ ＊ ＊ 質問者様がおっしゃっているように、オイラー積の式は「無限級数の無限回数の掛け算」となっていますので、なかなか直感的には理解が難しいですよね。 いきなり「無限級数」の「無限回数」の掛け算は難しいので、まずは「有限和」の「有限回」の積から初めてみるのはいかがでしょう。 （式２）では、素数を "2" と "3" だけ考えて、さらにそれぞれ２項ずつに限定した積の形の式となっています。（２項）×（２項）なので、左辺を展開すると、右辺のように４つの項が現れます。計算してみると、右辺には 1, 2, 3, 6 のように「 2 と 3 をそれぞれ最大１回ずつつかったすべての数」が現れていますね。 （式３）では、1, 2, 2^2 のように「2の2乗の項」まで含んだ式となっています。同様に素数 "3" についても 1, 3, 3^2 のように「3の2乗の項」まで含んでいます。この式を展開すると、右辺のように９つの項が現れますが、いずれの数も「 2 と 3 をそれぞれ最大２回ずつつかったすべての数」となっています。 この調子で一般化しましょう。 （式４）では、素数 2, 3 について、それぞれ「2のn乗の項」「3のn乗の項」まで含んだ式同士の積となっています。同様に展開すると、右辺には「 2 と 3 をそれぞれ最大 n 回ずつつかったすべての数」が現れるでしょう。 ここで、n を無限大に飛ばすとどうなるでしょうか。左辺は（式５）となり、展開した右辺には、「 2 と 3 だけを素因数に用いるすべての数」が「それぞれ１度ずつ」現れることでしょう。気をつけていただきたいのは、すべての数が「１度ずつ」しか現れないということです。 ここまでご理解いただければ「無限級数」の「有限回の積」は解決です。 上の議論は、素因数として "2", "3" の２つのみを考えました。これを同様に "2", "3", "5" のように３つに増やすこともできるでしょう。この場合、右辺の式には「 2, 3, 5 だけを素因数に用いるすべての数が、ぞれぞれ１度ずつ現れる」ことになりますね。素因数を "2", "3", "5", "7" の４つにすれば「 2, 3, 5 だけを素因数に用いるすべての数が、それぞれ１度ずつ現れる」式が出来上がります。 この延長線上で「無限に存在するすべての素数」を用いて考えた式が、冒頭の（式１）です。式を展開すると「素数 2, 3, 5, 7, ... を素因数に用いるすべての数」が「それぞれ１度ずつ現れる」ことになります。ここで、「素数 2, 3, 5, 7, ... を素因数に用いるすべての数」とはいったい何かというと、要するに「すべての正の整数」のことですね。 以上により、素数を使った無限級数の無限回の積が、すべての正の整数を使った和の形で表せるという、巧妙な式が導けました。 ご不明な点があれば、またブログ等でもご質問いただけますと幸いです。
- okormazd
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5で止めたらだめだ。 素因数分解 4=2^2, 6=2*3, 8=2^3, 9=3^2, 10=2*5, 12=2^2*3, ・・・ ぐにゃぐにゃの矢印で、質問者の参照したサイトに示されているが、これをもっと数学的に説明してくれということか。そこまで必要? 数学的帰納法なんかを使えば何とかなるかもしれないが、能力もないし面倒だからやらない。
- bran111
- ベストアンサー率49% (512/1037)
明らかにでたらめな式であることが解るので誰も答えなかったのです。 S2＝1+1/2+1/2^2+.... S3=1+1/3+1/3^2+.... S5=1+1/5+1/5^2+... はいずれも無限級数だとすれば S2=1/(1-1/2)＝2 S3=1/(1-1/3)=3/2 S5=1/(1-1/5)=5/4 よって元の式の右辺は S2×S3×S5=2*(3/2)*(5/4)=15/4 左辺は発散することが知られています。 よって等号が成り立つわけがない。
補足
オイラー積の解説を調べていたところ、ゼータ関数の S=1の時の数式展開が 素因数分解可能であるという説明を見かけたことから どのような素因数分解ができるかどうかを分からずに質問させていただきました。 http://tsujimotter.hatenablog.com/entry/2014/03/30/172641 よろしく御指導をお願いします。
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詳細な説明をしていただき、とても感謝しております。 肝心の数式の画像が縮小されていて、係数などが明瞭に見ることができません。 ゼータ関数の解説をていねいになされている貴重なブログをより多くの方たちに見ていただけるように、ブログの方に分かりやすい数式展開を掲載していただけると、OKWave よりはるかに多くの悩める学生さんたちの目に触れることができると思います。 それでは、よろしくお願いします。