• ベストアンサー
  • 暇なときにでも

2通りの素因数分解

素因数分解は一意に決まると学びましたが、大学時代にある数は2通りの素因数分解が出来ると聞いたような気がします。 私の記憶違いなのでしょうか?そんな数はあるのでしょうか?

共感・応援の気持ちを伝えよう!

  • 回答数2
  • 閲覧数183
  • ありがとう数2

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.1
  • adinat
  • ベストアンサー率64% (269/414)

UFD=Unique factorization domain(一意分解整域,素元分解整域)と呼ばれる代数系においては、素因数分解は一意的です。整数環Zはユークリッド整域と呼ばれる環であるので、したがってPID(単項イデアル整域)であり、したがってまたUFDになるのです。ユークリッド整域のチェックは易しいので、この方法で素因数分解の一意性を示すのがひとつのテクニックです。 もちろんUFDではない環の元は、素因数分解は一意的にはできません。すなわち二通りの分解を持つ元が存在します。数というのを、たとえば整数Zの元だとか、そういう風に思うならば、ZはUFDだから素因数分解の一意性が破れる数は存在しない、ということになります。しかし、より拡張して、代数体の整数環の元という立場に立つならば、それが成り立たない例はいくらでも作れます。たとえばQ(√-5)の整数環を考えてみてください。Q(√-5)とは簡単に言うと、a+b√-5とかけるような複素数の集まりです。ただしa,bは有理数とします。この整数環と呼ばれる環の元6を考えます。これは2・3=(1+√-5)(1-√-5)と二通りの分解が可能です。そして、2,3,1+√-5,1-√-5はいずれもQ(√-5)における素数になっています。すなわち±1と±それ自身以外の約数をもたないので「素数」なのです。代数体における整数というのは、QにおけるZと同じような役割をする環だと思ってください。より詳しいことをお知りになりたければ、代数学の教科書なりなんなりを参照されたらと思います。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

整数環Zにおいては一意だというのが分かり、すっきりしました。Qの整数環においては二通りの分解が可能だという点もよくわかりました。 大学時代の講義を思い出しました。ありがとうございました。

その他の回答 (1)

  • 回答No.2
  • ojisan7
  • ベストアンサー率47% (489/1029)

2次体の整数の場合は2通りの素因数分解になりますが、p次の整数の場合には何通りもありそうです。一般的に代数的整数は一意分解整域ではありません。イデアル概念の必要性がこういうところにも出てくるんではないかと思います。有理整数のように一意分解整域は整数論全体の立場から眺めれば、特殊なものだという位置づけができるんではないかと思います。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

有理整数のような一意分解のものの方が特殊なんですね。講義中に寝てしまったことが、いまさらながらに悔やまれます。ありがとうございました。

関連するQ&A

  • 素因数分解の一意性?

    素因数分解の一意性という定義はなぜ必要となるのでしょうか? それと虚数を入れると素因数分解の一意性は守られないと思うのですが、これは良いのでしょうか? なぜ一意性が必要なのかが分かりません。 どなたか教えて下さい。

  • 素因数分解の一意性?????

    m,n,p,qをすべて互いに素な自然数とした時に、 2^n・p^m=q^mにおいて、 素因数分解の一意性より、qは2の倍数である。 素因数分解の一意性ってどういうことなのでしょうか?

  • 素因数分解について

     ものすごく大きな素数二つを掛け合わせた数を素因数分解することは難しい、というようなことを本で読みました。 これって暗号を作ることにも利用されているみたいですが、どうしてこの数を素因数分解することが難しいのでしょうか?

  • 素因数分解をこの問題でどう使うのか??

    問題 「a、b、cは自然数とする。 2^3a×3^2b×5^cで表せる6桁の数があり、その中央の4桁は0736であることがわかっているとき、a,b,cの値を求めよ。」 これは中学生の問題です。私は家庭教師をしているのですが、情けないことにこの問題がわかりません。この問題のテーマは「素因数分解の利用」ということなのですが、どう素因数分解を利用するのかわかりません。 ~私の解法(素因数分解の利用なし)~ 3^2b=9の倍数なので、9の倍数の性質と2×5=10を利用して6桁の数が「207360」とわかったのですが、素因数分解を利用していないので、この解法ではないと思います。そもそも9の倍数の性質を知らないと解けない問題自体見たことがありません。 素因数分解を利用する解法がわかる方はぜひ教えて下さい。お願いします。

  • 1111111の素因数分解

    1111111という1が並ぶ数の中でも少ない桁数のものが、4649(よろしく)で割り切れることを知り、大変興味深く感じました。そこで1111111=239×4649という素因数分解を工夫してできないかを考えています。イメージ的には、例えば9991の素因数分解なら100^2-3^2と変形することで因数分解公式から103×97と分解できる、という具合です。何卒お知恵拝借いただきたく存じます。

  • 素因数分解の一意性を保たせるため?

    「素数」とは「1とその数自身の他に約数を持たない数」と習いました。 1は素数ではないということですが、これは「素因数分解の一意性を保たせるため」と知りました。 これはどういうことでしょうか? 中学生でも解るようにご説明下さい。 (それとも中学生に解るように、は無理でしょうか……?) 宜しくお願いします。

  • 素因数分解について

    n = 2ml (m > 0, l は奇数)が完全数ならば、2^(m+1)l = 2n = σ(n) =(2^(m+1) -1)σ(l)。 よって、2^(m+1) -1 は2^(m+1)l を割り切る。 『したがって、素因数分解の一意性から、l は2^(m+1) - 1 を割り切る。』 『』内についてです。どうしてこのようなことが言えるのでしょうか?

  • 素因数分解の問題

    久々に素因数分解の問題を解いてみようとしたところ、いきなり躓いてしまいました。 二桁の整数nに168をかけると、ある数の二乗になりました。この整数nはいくらになるかという問題です。 168を素因数分解し、n×168=n×2^3×3×7となることは分かります。 これから先、どのように組み立てて解けばよいのか分かりません。 解説では、各素数が偶数個になるように解くと書かれており、ある数の二乗になるため、 n=2×3×7×m^2となっていました。 どうしてこのような式なるのですか? A=A^p×b^q×c^rとなっている時、各指数がすべて偶数(2の倍数)なっていれば、Aは何かの二乗になることは確かめてみました。

  • 素因数分解について

    X=√4,840,000 を素因数分解?? で解く場合、100*2*11=2,200 となると思いますが、素数の100を1000にしては駄目ですか? そもそも、素因数分解のルールが理解出来ていません。 素因数分解の簡単なやり方を分かり易く教えて下さる方、宜しくお願いいたします。 因数分解は方程式なので、取っ付きにくいイメージがあります。

  • 100!を素因数分解すると2^a、3^b、5^c、

    100!を素因数分解すると2^a、3^b、5^c、7^16、11^9、13^7…となる。a,b,cの値を求めよ。 という数A 整数の問題です。 画像は解答なのですが、何をしているのかわかりません。なぜ素因数の数?を調べるのですか?重複しないのですか?