無理方程式の解の個数

質問

方程式 2√x-1=1/2x+k が異なる二つの実数解をもつように、実数kの値の範囲を定めよ。
という問題で、

解き方は、
方程式から 4√x-1=x+2k (≧0)
両辺を２乗すると、16(x-1)=x^2+4kx+4k^2
・・・となっています。

2√x-1≧0より、1/2x+k≧0だから両辺を２乗したのでしょうか？
２乗してもよい理由を教えてください。お願いします。

回答No.4

Terios19

situmonn9876さん

前に回答してらっしゃる方々のコメントが適切なので黙っていようかとも思ったのですが、少しでも役に立つならと思い蛇足のコメントをいたします。

situmonn9876さんは「関数」ってわかりますか？関数とは入力値が一つ定まったら出力（結果）が唯一つ決まる演算です。

２乗というのも一種の「関数」です。なので、同じ値を「２乗」したら必ず同じ値になります。

でも、関数は同じ値を入力したら必ず同じ値を出力しますが、同じ値を出力したとき必ず同じ値が入力されたとは限りません。ここがややこしいところです。

たとえば2を2乗したら必ず（通常の整数の演算においては）4になりますが、-2を2乗しても4になります。従って、（aの2乗）=（bの2乗）だとしてもaは2で、bは-2かもしれず、a=bとは言い切れません。

この問題のときは方程式にルートが入っているとわかりにくいため、2乗することでルートをはずしています。でも、そのせいで先ほど言ったように16(x-1)とx^2+4kx+4k^2が同じでも4√x-1とx+2kが必ず同じではなくなってしまっています。

でも、先ほど言ったとおり（aの2乗）=（bの2乗）だとしたら、a=bか、a=-bでかなり調べる範囲を絞ることができるのでそれなら2乗した方程式を解いた上で、（a=bかa=-b）については後で調べようというのが数学の知恵です。

お分かりいただけたでしょうか。

お礼

２乗の説明、ありがとうございます。