双曲線関数のほうが三角関数より本質的とは

質問

数学の先生が、本当は双曲線関数のほうが基本で三角関数より重要なのだがと言っていましたが、どういうことなのでしょうか。

回答No.1

178-tall · ベストアンサー

歴史的なハナシは、参考 URL (指数関数の話) などをご一読されたし。

等差数列と等比数列の対応関係にはじまり、「かけ算を足し算に変換する」対数の発想、
双曲線 y=1/x の求積勘定が対数的加法性をもつことの論証 … といった歴史がかいま見られます。

現況のつながりをみると、

　　　　　　　 複素指数関数
　　　　　　　　　　e^z
　　　　　　　　　　↓
　　　　　　　 複素双曲線関数
　　cosh(z) = [ e^z + e^(-z) ] / 2 ： z=x+iy
　　　　↓　双曲線関数　　　　　　　　　　↓　三角関数
　cosh(x) = [e^x + e^(-x) ] / 2　　cosh(iy) = cos(y)

… てな感じですかネ。

( 「本質的」とか、「より重要」といったハナシじゃなさそう… )

参考URL：

http://matha.e-one.uec.ac.jp/~naito/kokai.pdf

お礼

複素数と実数の関係でもあるのでしょうか。

回答No.3

178-tall

>複素数と実数の関係でもあるのでしょうか。

参考 URL (指数関数の話) のラストにあるように、

　e^z = e^(x+iy) = … = e^x (cosy + isiny)
　… のようにして複素数の範囲にまで指数関数，対数関数が拡張される．

… のです。

お礼

範囲の拡張の一例だったのですね。勉強します。

回答No.2

noname#232123

前の方も言われていますが、実は「三角関数、双曲線関数」は変数を複素数にまで拡張すると、「指数関数の合成」です。すなわち、「三角関数、双曲線関数は指数関数である」といえ、指数関数が”親関数”の感じで、より本質的といえます。先生はこのことをおっしゃったものと思います。

お礼

先生が真に意味していたものはほとんどわからないものですね。せめて言葉そのものは忘れないようにしたいと思っています。

補足

くだらない質問かもしれませんが、前から気になっているものです。以前にもおんなじ質問をしたことがありましたが、Ａ＾２+Ｂ＾２＝Ｃ＾２が成り立つＣを斜辺とする直角三角形　からＡ＾２＝Ｃ＾２-Ｂ＾２すなわち　Ａ＾２＝Ｃ＾２+（Ｂｉ）＾２をＡを斜辺とし、Ｂを虚辺（？）とする虚（？）三角形を幾何学的にイメージできないでしょうか。