同一平面上のベクトル

質問

空間において、正四面体ABCDがある、底面の三角形BCD内に点Pがあり、・・・
という問題で、→APを→AP＝s→AB+t→AC+u→ADと置くと、
BCDは同一平面上にあるためs+t+u=1となる。
ここの定義はどうやって証明できるんですか？

回答No.4

178-tall

< ANo.2 への蛇足の…蛇足です。

(AB, AC, AD の係数和が 1 ) → 「アフィン結合」 → P が BCD と同一平面上含まれる

(AB, AC, AD の係数和が 1 、かつ AB, AC, AD の係数≧0 ) → 「凸結合」 → P が 三角形 BCD に含まれる

回答No.3

178-tall

< ANo.2 への蛇足です。

(AB, AC, AD の係数和が 1 ) → 「アフィン結合」

(AB, AC, AD の係数和が 1 、かつ AB, AC, AD の係数≧0 ) → 「凸結合」

回答No.2

178-tall

「アフィン結合」ないし「凸結合」を調べるのが最速かも … 。(s+t+u=1)

(以下、ベクトル矢印 → を省略)
題意に従えば、たとえば、
　BC = AC - AB
　BD = AD - AB
だから、2 つのベクトル BC, BD と同一平面上にあるベクトル BP は、
　BP = pBC + qBD
なる形式の一次結合であらわされるだろう。
つまり、
　BP = p(AC - AB) + q(AD - AB)
　= pAC + qAD - (p+q)AB　　… (1)

ここで、
　BP = AP - AB
だろうから、これを (1) に入れて整形すると、
　AP = AB + BP = pAC + qAD + (1-p-q)AB
になりそう。
(AB, AC, AD の係数和が 1 )

回答No.1

info222_

>ここの定義はどうやって証明できるんですか？
定義自体はそう定めるものであって証明できません。それが定義です。
なので質問を整理して
定義部分（命題、与えられた条件）と証明すべきことを分けましょう。

整理してみると

「Pが△BCDの内部（辺も含む）である」　⇒　「→APを→AP＝s→AB+t→AC+u→ADと置くとs+t+u=1が成り立つ」

このときの命題「Pが△BCDの内部（辺も含む）である」を式であらわすと
どうなりますか？どんな関係が成立っていますか？

→BP=a→BC+b→BD (0≦a≦1,0≦b≦1, a+b≦1)
→AP＝→AB+→BP
これから
→AP＝s→AB+t→AC+u→ADの形に式を変形すれば係数s,t,u
(0≦s,t,u≦1)の間にs+t+u=1の関係が成り立っている。
ということを証明すればいいではないですか？