開区間

質問

log2∈(0.69314 , 0.69315)を使ってlog10を含む開区間でできるだけ小さいものを求めよ

という問いなのですが解法のみでいいので教えてください。

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

log2やlog10の対数は与えられた開区間の数値からすると自然対数ですね。

粗い開区間の求め方
log10∈(log8,log16)=(3log2,4log2)
log10∈(3*0.69314,4*0.69315)=(2.07942, 2.77260) ...(Ans.1)

もう少し狭い開区間の求め方
マクローリン展開の公式
log(1+x)=x-x^2/2+ ... +((-1)^(n-1))*x^n/n+ ... (x>-1)
でx>0のとき
x-x^2/2<log(1+x)<x
が成り立つ。これを利用して解く解法です。
log10=log(8+2)=log(8*(1+1/4))=3log(2)+log(1+1/4)
であるから
3log(2)+(1/4)-(1/4)^2/2<log10<3log(2)+1/4
すなわち
log10∈(3log(2)+(1/4)-(1/4)^2/2, 3log(2)+(1/4))
log10∈(3*0.69314+0.25-0.03125, 3*0.69315+0.25)=(2.29817, 2.32945) ...(Ans.2)

[検証]　log10=2.3025850929940... なので(Ans.1)の開区間より、(Ans.2)の開区間の方がより小さな開区間となっています。

お礼

二つ目の解き方は全く思いつきませんでした、素晴らしい解法ですね。
素早い回答ありがとうございました。